Browse
Recent Submissions
- ItemǬ-зображення дiйсних чисел як узагальнення канторiвських систем числення(2022) Працьовитий, Микола; Бондаренко, Ольга; Ратушняк, Софія; Франчук, КатеринаРоботу присвячено узагальненню канторівської системи числення, яка визначається послідовністю основ( sn), 1 < sn ∈ N і послідовністю алфавітів An = {0, 1, ..., sn − 1}: [0; 1] ∋ x = ∞∑ n=1 αn / s1s2...sn, αn ∈ An, яке назване Ǭ-зображенням. Воно визначається нескінченною матрицею ||qik||, де i ∈ Ai, k ∈ N, що має властивості 0 < qik < 1, mk ∑ i=0 qik = 1, k ∈ N, ∞∏ n=1 max i {qik} = 0, а саме [0; 1] ∋ x = ai11 + ∞∑ k=2 [aikk k−1 ∏ j=1 qij (x)j ] ≡ Δi1i2...ik..., where ainn = in−1 ∑ j=0 qjn, in ∈ An, n ∈ N. У роботі розглянуто застосування вказаного зображення чисел у метричній теорії чисел, теорії розподілів випадкових величин, теорії локально складних функцій та фрактальному аналізі. Вивчено тополого-метричну структуру множини C[Ǭ; Vn] = {x : x = Δα1...αn..., αn ∈ Vn ⊂ An}. Виведено формулу для обчислення її міри Лебега: λ(C) = ∞∏ n=1 λ(Fn) / λ(Fn−1) = ∞∏ n=1 (1 − λ(Fn) / λ(Fn−1)), де F0 = [0; 1], Fn - об'єднання Ǭ-циліндрів рангу n, серед внутрішніх точок яких є точки множини C, Fn ≡ Fn−1 \ Fn. Знайдено критерій і деякі достатні умови нуль-мірності цієї множини. За додаткових умов на "матрицю" ||qik|| знайдено нормальну властивість Ǭ-зображення чисел (властивість, яку мають майже всі у розумінні міри Лебега числа). Отримані результати використано для встановлення лебегівської структури і типу розподілу випадкової величини, Ǭ-зображення якої є незалежними випадковими величинами. Доведено, що цифри Ǭ-зображення рівномірно розподіленої на [0; 1] випадкової величини є незалежними, і вказано їх розподіл. Доведено, що при обчисленні фрактальної розмірності Гаусдорфа Безиковича підмножин відрізка [0; 1] можна обмежитись покриттями Ǭ-циліндрами: Δc1...cm = {x : x = Deltac1...cki1...in..., in ∈ ∈ Ak+n}, якщо потужності алфавітів обмежені, а елементи "матриці" ||qik|| відокремлені від нуля. Для інферсора цифр Ǭ-зображення чисел, тобто функції, означеної рівністю I(x = = Δi1...in...) = Δ[m1−i1]...[mn−in]..., mn ≡ sn − 1 доведено неперервність, строгу монотонність, а для окремих випадків її сингулярність (рівність похідної нулю майже скрізь у розумінні міри Лебега).
- ItemRemarks on my algebraic problem of determining similarities between certain quotient boolean algebras(2022) Frankiewicz, RyszardRemarks on my algebraic problem of determining similarities between certain quotient boolean algebras. In this paper we survey results about quotient boolean algebras of type P(κ)/fin(κ) and condition for them to be or not to be isomorphic for different cardinals к. Our consideration have their root in the classical result of Parovicenko and a less classical, nevertheless really considerable result about non-existence of P-points by S. Shellah. Our main point of interest are the algebras P(ω)/fin(ω) i P(ℵ1)/fin(ℵ1).
- ItemA solution of a finitely dimensional Harrington problem for Cantor set(2022) Kusinski, SlawomirIn this paper we are exploring application of fusion lemma - a result about perfect trees, having its origin in forcing theory - to some special cases of a problem proposed by Leo Harrington in a book Analytic Sets. In all generality the problem ask whether given a sequence of functions from Rω to [0; 1] one can find a subsequence of it that is pointwise convergent on a product of perfect subsets of R. We restrict our attention mainly to binary functions on the Cantor set as well as outline the possible direction of generalization of result to other topological spaces and different notions of measurablity.
- ItemКласифiкацiя злiченних графiв Кокстера вiдносно iндексу у промiжку (√√5 + 2; 3/√2](2022) Тимошкевич, Лариса; Когут, МаріяДосліджено структуру зліченних графів Кокстера зі значенням індексу в проміжку від √√5 + 2 до 3/√2. Зокрема, такі графи є деревами, можуть мати щонайбільше одну позначку на ребрах, більшу за 3, і такі позначки не перевищують 6, можуть мати лише вершини степеня строго меншого за 5, і серед ребер, інцидентних вершині степеня 4, може бути лише одне, що інцидентне не висячій вершині. Також наведено ряд інших властивостей зліченних графів Кокстера з індексами у квазаному проміжку.
- ItemОберненi спектральнi задачi для зважених графiв(2022) Пилипіва, Олександра; Тимошкевич, ЛарисаРоботу присвячено оберненим спектральним задачам для зважених графiв. Наведено верхню оцiнку спектрального вiдновлюючого числа для дерев та унiциклiчних графiв.