Ǭ-зображення дiйсних чисел як узагальнення канторiвських систем числення
Loading...
Date
2022
Authors
Працьовитий, Микола
Бондаренко, Ольга
Ратушняк, Софія
Франчук, Катерина
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Abstract
Роботу присвячено узагальненню канторівської системи числення, яка визначається послідовністю основ( sn), 1 < sn ∈ N і послідовністю алфавітів An = {0, 1, ..., sn − 1}:
[0; 1] ∋ x = ∞∑ n=1 αn / s1s2...sn, αn ∈ An,
яке назване Ǭ-зображенням. Воно визначається нескінченною матрицею ||qik||, де i ∈ Ai, k ∈ N, що має властивості
0 < qik < 1, mk ∑ i=0 qik = 1, k ∈ N, ∞∏ n=1 max i {qik} = 0,
а саме
[0; 1] ∋ x = ai11 + ∞∑ k=2 [aikk k−1 ∏ j=1 qij (x)j ] ≡ Δi1i2...ik..., where ainn = in−1 ∑ j=0 qjn, in ∈ An, n ∈ N.
У роботі розглянуто застосування вказаного зображення чисел у метричній теорії чисел, теорії розподілів випадкових величин, теорії локально складних функцій та фрактальному аналізі.
Вивчено тополого-метричну структуру множини C[Ǭ; Vn] = {x : x = Δα1...αn..., αn ∈ Vn ⊂ An}. Виведено формулу для обчислення її міри Лебега:
λ(C) = ∞∏ n=1 λ(Fn) / λ(Fn−1) = ∞∏ n=1 (1 − λ(Fn) / λ(Fn−1)),
де F0 = [0; 1], Fn - об'єднання Ǭ-циліндрів рангу n, серед внутрішніх точок яких є точки множини C, Fn ≡ Fn−1 \ Fn.
Знайдено критерій і деякі достатні умови нуль-мірності цієї множини. За додаткових умов на "матрицю" ||qik|| знайдено нормальну властивість Ǭ-зображення чисел (властивість, яку мають майже всі у розумінні міри Лебега числа). Отримані результати використано для встановлення лебегівської структури і типу розподілу випадкової величини, Ǭ-зображення якої є незалежними випадковими величинами. Доведено, що цифри Ǭ-зображення рівномірно розподіленої на [0; 1] випадкової величини є незалежними, і вказано їх розподіл.
Доведено, що при обчисленні фрактальної розмірності Гаусдорфа Безиковича підмножин відрізка [0; 1] можна обмежитись покриттями Ǭ-циліндрами: Δc1...cm = {x : x = Deltac1...cki1...in..., in ∈ ∈ Ak+n}, якщо потужності алфавітів обмежені, а елементи "матриці" ||qik|| відокремлені від нуля.
Для інферсора цифр Ǭ-зображення чисел, тобто функції, означеної рівністю I(x = = Δi1...in...) = Δ[m1−i1]...[mn−in]..., mn ≡ sn − 1 доведено неперервність, строгу монотонність, а для окремих випадків її сингулярність (рівність похідної нулю майже скрізь у розумінні міри Лебега).
Description
We consider generalization of Cantor numeral system, which is determined by the sequence of bases (sn), 1 < sn ∈ N, and the sequence of alphabets An = {0, 1, ..., sn − 1}:
[0; 1] ∋ x = ∞∑ n=1 αn/s1s2...sn, αn ∈ An,
the so-called Ǭ-representation. It is defined by an infinite “matrix” ||qik||, where i ∈ Ai, k ∈ N, having the properties
0 < qik < 1, mk ∑ i=0 qik = 1, k ∈ N, ∞∏ n=1 max i {qik} = 0,
namely
[0; 1] ∋ x = ai11 + ∞∑ k=2 [aikk k−1 ∏ j=1 qij (x)j ] ≡ Δi1i2...ik..., where ainn = in−1 ∑ j=0 qjn, in ∈ An, n ∈ N.
The applications of this representation of numbers in the metric theory of numbers, the theory of distributions of random variables, the theory of locally complicated functions, and fractal analysis are studied.
For the set C[Ǭ; Vn] = {x : x = Δα1...αn..., αn ∈ Vn ⊂ An}, we study its topological and metric structure and derive a formula for calculating its Lebesgue measure:
λ(C) = ∞∏ n=1 λ(Fn) / λ(Fn−1) = ∞∏ n=1 (1 − λ(Fn) / λ(Fn−1)),
where F0 = [0; 1], Fn is the union of Ǭ-cylinders of rank n, such that there are points of the set C among their interior points of the set C, Fn ≡ Fn−1 \ Fn.
A criterion and some sufficient conditions for this set to be a set of zero measure are found. Under additional conditions on the “matrix” ||qik||, the normal property for Ǭ-representation of numbers is found ((i.e., almost all in the sense of Lebesgue measure numbers have this property). The obtained results are used to establish the Lebesgue structure and the type of distribution of a random variable whose digits of Ǭ-representation are independent random variables. It is proved that the digits of the Ǭ-representation of a random variable uniformly distributed on [0; 1] are independent, and their distribution is given.
If the cardinalities of the alphabets are finite and the elements of the “matrix” ||qik|| are bounded away from zero, it is proved that to calculate the Hausdorff-Besicovitch fractal dimension of subsets of the segment [0; 1], it is sufficient to cover them with Ǭ-cylinders: Δc1...cm = {x : x = Deltac1...cki1...in..., in ∈ ∈ Ak+n}.
For inversor of digits of Ǭ-representation of numbers, that is, the function defined by equality I(x = = Δi1...in...) = Δ[m1−i1]...[mn−in]..., mn ≡ sn − 1 it is proved its continuity, strict monotonicity, and for certain cases, its singularity (the equality of the derivative to zero almost everywhere in the sense of the Lebesgue measure).
Keywords
Ǭ-зображення чисел, Ǭ-бінарні числа, Ǭ-унарні числа, канторівська система числення, циліндр, розмірність Гаусдорфа Безиковича, нормальна властивість числа, циліндрична похідна, сингулярна функція, стаття, Ǭ-representation of numbers, Ǭ-binary numbers, Ǭ-unary numbers, Cantor numeral systems, cylinder, Hausdorff–Besicovitch dimension, normal property of numbers, cylindrical derivative, singular function
Citation
Ǭ-зображення дiйсних чисел як узагальнення канторiвських систем числення / Працьовитий М. В., Бондаренко О. І., Ратушняк С. П., Франчук К. В. // Могилянський математичний журнал. - 2022. - Т. 5. - С. 9-18. - https://doi.org/10.18523/2617-7080520229-18