Кафедра математики
Permanent URI for this collection
Browse
Recent Submissions
Item Готфрiд Лейбнiц i створення диференцiального числення(2025) Федоровська, КатеринаУ статтi розглядається внесок Готфрiда Вiльгельма Лейбнiца у створення диференцiального числення в контекстi його фiлософської системи. Дослiджено взаємозв’язок мiж метафiзичною концепцiєю монад та математичним поняттям нескiнченно малих величин. Проаналiзовано публiкацiю "Nova methodus pro maximis et minimis" 1684 року як першу друковану працю з диференцiального числення. Висвiтлено особливостi лейбнiцiвського пiдходу до математичного аналiзу, його нотацiю та методологiю. Розглянуто iсторичну суперечку щодо прiоритету винаходу числення мiж Лейбнiцем та Ньютоном. Показано вплив фiлософських iдей Лейбнiца на формування сучасного математичного аналiзу.Item Про розв’язнiсть задачi пошуку нерухомої точки вiдображення в просторах багатовимiрних послiдовностей(2025) Гончаренко, Юрiй; Ляшко, Вiктор; Тимошенко, Андрiй; Чорней, РусланУ статтi розглянуто задачу пошуку нерухомої точки для вiдображень у просторах багатовимiрних послiдовностей. Автори формулюють i доводять основну теорему, що забезпечує iснування та єдинiсть розв’язку рiвняння типу x = h + Ax, де A є лiнiйним оператором у просторi Банаха з певними властивостями. В роботi введено систему пiвнорм, яка узгоджується з нормою простору та задовольняє умови монотонностi й обмеженостi. Використовуючи метод послiдовних наближень та аналiз збiжностi вiдповiдного ряду, доведено iснування розв’язку задачi, а також отримано оцiнки для норми розв’язку. Особливу увагу придiлено доведенню обмеженостi оператора та унiкальностi розв’язку, що гарантує коректнiсть постановки задачi. Запропонованi результати є розвитком класичних пiдходiв до задачi нерухомих точок у новому контекстi багатовимiрних послiдовностей, що мають як теоретичну, так i прикладну цiннiсть.Item Про деякi властивостi майже перiодичних функцiй(2025) Кашпіровський, Олексій; Митник, ЮрійДослiджуються достатнi умови показникiв λn та коєфiцiєнтiв Фур’є, при виконаннi яких майже перiодичнi функцiї f(t) з простору Безиковича B2 неперервнi, неперервно-диференцiйовнi та голоморфнi. У випадку показникiв λn, що мають степеневу асимптотику λn = L(nα + εn), де L ∈ R1, α > 0, εn → 0 при n → +∞ отримано аналог теореми Соболєва про вкладення. Для показникiв λn, що за n → +∞ зростають повiльнiше довiльного додатного степеня n, описано клас функцiй з простору Безиковича B2, що мають аналiтичне продовження у пiвплощину Re s > a ≥ 0. До таких функцiй належить дзета-функцiя Рiмана ζ(s). Для функцiй з B2, у яких показники λn прямують до нуля, встановленi достатнi умови аналiтичного продовження до цiлих функцiй 1-го експоненцiального порядку.Item Спектральнi вiдновлювальнi числа графiв C3 + e та K4 − e(2025) Тимошкевич, Лариса; Чернявська, КаринаУ статтi дослiджено обернену спектральну задачу для зважених графiв. Розглянуто проблему вiдновлення додатних ваг ребер графа за спектрами його iндукованих пiдграфiв. Основну увагу придiлено знаходженню точного значення спектрального вiдновлювального числа Srn(G) для графiв Srn(C3 + e) та Srn(K4 − e) — мiнiмальної кiлькостi спектрiв iндукованих пiдграфiв, необхiдних для однозначного вiдновлення всiх ваг ребер графа. Отриманi результати завершують визначення спектральних вiдновлювальних чисел для всiх зв’язних графiв порядку не бiльш як чотири. Вони можуть бути використанi для подальших дослiджень обернених спектральних задач та розробки алгоритмiв вiдновлення ваг на ребрах графiв.Item Поточне прогнозування ВВП за допомогою моделей факторiв зi змiшаною частотою для українських регiонiв(2025) Дрінь, Світлана; Журавльова, Анастасiя; Крюкова, ГалинаСвоєчасна оцiнка регiональної економiчної активностi є ключовою для прийняття обґрунтованих рiшень та реагування на кризовi ситуацiї, особливо в економiках, де офiцiйна статистика публiкується iз суттєвими затримками. В Українi данi про валовий регiональний продукт (ВРП) оприлюднюються лише один раз на рiк iз запiзненням до 16 мiсяцiв, що значно ускладнює монiторинг економiчної ситуацiї в реальному часi. У цьому дослiдженнi запропоновано модель Mixed-Frequency Factor-Augmented Vector Autoregression (MF-FAVAR) для теперiшнього прогнозування (nowcasting) квартального зростання ВРП для київського регiону шляхом поєднання рiчних, квартальних i мiсячних показникiв. Запропонована структура iнтегрує традицiйнi макроекономiчнi статистичнi показники з високочастотними цифровими сигналами, отриманими з Google Trends, що дає змогу вiдстежувати змiни у споживчих настроях та поведiнкових патернах. Цi цифровi iндикатори виступають проксi змiн у споживчих настроях, намiрах щодо витрат i очiкуваннях на ринку працi, надаючи додаткову iнформацiю порiвняно з офiцiйною статистикою, що публiкується iз затримкою. Зменшення розмiрностi даних здiйснюється за допомогою сучасних методiв факторної екстракцiї, розроблених для неповних i неузгоджених наборiв даних, зокрема Expectation–Maximisation Principal Component Analysis (EMPCA), Bayesian PCA (BPCA) та Singular Value Decomposition Imputation (SVDI). Рiчний ряд ВРП було перетворено на квартальний за допомогою методу Дентона–Шолетта, що забезпечує узгодженiсть з офiцiйними пiдсумками. Емпiричнi результати показують, що факторна екстракцiя на основi EMPCA забезпечує найстабiльнiшi та найточнiшi коротко-, середньо- та довгостроковi прогнози. Зокрема, EMPCA досягає найменших значень середньоквадратичної похибки прогнозу (RMSFE) та безперервного рангового ймовiрнiсного показника (CRPS), що пiдтверджує її стiйкiсть у умовах обмежених i зашумлених даних. Отриманi результати свiдчать, що моделi зi змiшаною частотою та факторною структурою є ефективним iнструментом для регiонального nowcasting за умов нестачi даних, що робить їх особливо релевантними для перехiдних i кризових економiк, таких, як Україна.Item Iterative demand optimization using the discrete functional particlemethod(2025) Drin, Svitlana; Avdieienko, Ivan; Chornei, RuslanThis article addresses the challenge of assortment planning in retail under uncertain demand and operational constraints. It develops a hybrid methodology that integrates SARIMAX time-series forecasting with the Discrete Functional Particle Method (DFPM) for optimisation, enabling both strategic (long-term) and tactical (monthly) decision support. The proposed framework combines statistical forecasting with iterative optimisation in order to balance predictive accuracy and operational feasibility. In the forecasting stage, a SARIMAX model with exogenous regressors captures seasonality, promotions, and demand fluctuations, while a safeguard mechanism prevents excessively pessimistic predictions. In the optimisation stage, DFPM is applied to a quadratic objective under linear constraints, with parameters tuned using eigenvalue analysis of the risk matrix. A novel operational risk metric—the Inventory Efficiency Ratio—is introduced, defined as the ratio of leftover stock value to revenue, and used to construct the covariance structure for optimisation. A hybrid strategy blends the mathematically optimal allocation with a baseline derived from historical sales shares, ensuring both practical stability and data-driven improvements. Tactical adjustments refine this strategic solution by incorporating seasonal indices and business constraints such as minimum and maximum category weights. The framework is implemented in Python and evaluated on real-world retail data from a Ukrainian anti-stress toy retailer. Results demonstrate a 25% reduction in operational risk and a threefold increase in inventory turnover, while maintaining realistic revenue forecasts. Overall, the work contributes a flexible and reproducible decision-support methodology that unifies modern forecasting and optimisation techniques, providing practitioners with a tool for improving assortment decisions in dynamic retail environments.Item Portfolio optimization for real data: approaches and chal-lenges(2025) Burdym, Anastasiia; Danyliuk, Yevheniia; Shchestyuk, NataliyaPortfolio optimization continues to be a dynamic field within finance, integrating new theories and technologies to better meet investor needs. As financial markets evolve, so too will the methodologies used to optimize portfolios, making it an area ripe for ongoing research and innovation. Classical Markowitz approach is based on the mean-variance optimization, which quantifies the tradeoff between risk (variance) and return (expected return). This approach had some limitations. It assumes investors are rational, markets are efficient, and asset returns are normally distributed. As a response to the some limitations of Markowitz theory minimum-VaR approach was appeared. This theory recognizes some assymetry, that investors are more concerned about potential losses than gains and incorporates downside risk measures like Value-at-Risk. Despite advancements of the classical Markowitz theory and minimum VaR approach, challenges remain in accurately estimating parameters, singularity of the covariance matrix and managing risks in volatile markets. In this paper we consider the mean-variance and mean-Var optimal portfolios and take into account the case when the covariance estimated matrix is singular. We use the Moore-Penrose pseudoinverse and Singular Value Decomposition (SVD) to find solutions. We apply these approaches and methodics to real financial data, construct mean-variance and mean-Var optimal portfolios and compare the dynamics of expected returns (mean), volatility and VaR for it. Thanks to the proposed approaches, the investor gets a tool that allows him to make decisions about choosing an approach to building an optimal portfolio, as well as taking into account the singularity of the covariance matrix.Item PINN-based machine learning for modeling internal waves insemi-infinite fluids(2025) Avramenko, Olha; Kompan, Serhii; Sarana, MaksymThis study investigates the application of Physics-Informed Neural Networks (PINNs) for modelingwave processes at the interface between two incompressible fluids of differing densities. As a first step,the linear formulation of the problem is considered, which admits an analytical solution based on aspectral method involving Fourier decomposition of the initial perturbation. This solution serves as abenchmark for testing and validating the accuracy of the PINN predictions.The implementation is carried out in Python using specialized libraries such as TensorFlow, NumPy,SciPy, and Matplotlib, which provide both efficient deep learning frameworks and tools for solving mathe-matical physics problems numerically. The approach integrates artificial intelligence with domain-specificknowledge in hydrodynamics, enabling the construction of interpretable and physically consistent mod-els. Particular attention is given to the organization of the computational experiment, automation ofvisualizations, and storage of intermediate results for further analysis. The PINN model includes a lossfunction that encodes the governing equations and boundary conditions, and the training is conductedon randomly sampled points across the spatio-temporal domain. The influence of network architectureand training parameters on solution accuracy is examined. Visualization of loss function evolutionand predicted wave profiles provides insight into convergence behavior and physical plausibility of thesolutions.A comparative analysis between the PINN-based and analytical solutions across different time in-stances is presented, revealing phase shifts and amplitude deviations. The model demonstrates goodagreement at early times and a gradual accumulation of errors as time progresses—an expected featureof this class of methods. The results confirm the feasibility of applying the PINN framework to linearhydrodynamic problems, laying the groundwork for future extensions to weakly and strongly nonlinearregimes, including studies of wave stability and nonlinear wave dynamics.Item Наскрізна програма практики : методичні рекомендації для здобувачів другого (магістерського) рівня вищої освіти за спеціальністю F1 "Прикладна математика", освітньо-наукова програма "Прикладна математика"(Національний університет "Києво-Могилянська академія", 2025) Авраменко, Ольга; Власенко, Катерина; Чорней, Руслан; Лимарченко, Олег; Компан, Сергій"Наскрізна програма практики" для здобувачів другого (магістерського) рівня вищої освіти за спеціальністю F1 "Прикладна математика" Національного університету "Києво-Могилянська академія" визначає зміст, організацію та вимоги до проходження виробничої та науково-дослідної практик. Документ структуровано відповідно до освітньо-наукової програми і містить опис мети та завдань практичної підготовки, перелік очікуваних компетентностей і програмних результатів навчання, обов’язки та права студентів, форми контролю та критерії оцінювання. Програма виробничої практики (3 кредити ECTS) спрямована на ознайомлення студентів з особливостями професійного середовища, застосування математичних методів, програмування та моделювання в умовах підприємств, установ та ІТ-компаній. Науково-дослідна практика (6 кредитів ECTS) орієнтована на розвиток дослідницьких компетентностей, формування навичок постановки наукових проблем, побудови математичних моделей, проведення чисельних експериментів і підготовку до написання магістерської роботи. Документ також містить орієнтовні індивідуальні завдання, вимоги до звітної документації, приклади оформлення титульних аркушів і щоденників практики, а також типовий договір з базою практики. Програма забезпечує інтеграцію теоретичних знань і практичних навичок, сприяє професійному самовизначенню магістрантів та їхній підготовці до наукової й професійної діяльності у сфері прикладної математики.Item Modulational stability of wave packets at fluid interface of layer and half-space(2025) Avramenko, Olha; Naradovyi, VolodymyrThe modulational stability of internal wave packets propagated along the surface of a hydrodynamic system consisting of a lower half-space and an upper layer covered with a rigid lid is investigated. The study is conducted within the framework of a nonlinear low-dimensional model incorporating surface tension on an interface using the method of multi-scale expansions implemented via symbolic computation. The evolution equation of the envelope of the wave packet takes the form of the Schrodinger equation. Conditions ¨ for the modulational stability of the solution of the evolution equation are identified for various physical and geometrical characteristics of the system. Significant influence on the modulational stability of the system’s geometrical characteristics and surface tension is observed for relatively small liquid layer thicknesses. For large layer thicknesses, the stability diagram degenerates to that of a system composed of two half-spaces.Item Knowledge Transfer in Model-Based Reinforcement Learning Agents for Efficient Multi-Task Learning(2025) Kuzmenko, Dmytro; Shvai, NadiyaWe propose an efficient knowledge transfer approach for modelbased reinforcement learning, addressing the challenge of deploying large world models in resource-constrained environments. Our method distills a high-capacity multi-task agent (317M parameters) into a compact 1M parameter model, achieving state-of-the-art performance on the MT30 benchmark with a normalized score of 28.45, a substantial improvement over the original 1M parameter model’s score of 18.93. This demonstrates the ability of our distillation technique to consolidate complex multi-task knowledge effectively. Additionally, we apply FP16 post-training quantization, reducing the model size by 50% while maintaining performance. Our work bridges the gap between the power of large models and practical deployment constraints, offering a scalable solution for efficient and accessible multi-task reinforcement learning in robotics and other resource-limited domains.Item Nonlinear systems of PDEs admitting infinite-dimensional Lie algebras and their connection with Ricci flows(2024) Cherniha, Roman; King, JohnA wide class of two-component evolution systems is constructed admitting an infinite-dimensional Lie algebra. Some examples of such systems that are relevant to reaction–diffusion systems with cross-diffusion are highlighted. It is shown that a nonlinear evolution system related to the Ricci flow on warped product manifold, which has been extensively studied by several authors, follows from the above-mentioned class as a very particular case. The Lie symmetry properties of this system and its natural generalization are identified and a wide range of exact solutions is constructed using the Lie symmetry obtained. Moreover, a special case is identified when the system in question is reducible to the fast diffusion equation in one space dimension. Finally, another class of two-component evolution systems with an infinite-dimensional Lie symmetry that possess essentially different structures is presented.Item An Age-Structured Diffusive Model for Epidemic Modelling: Lie Symmetries and Exact Solutions(2025) Cherniha, Roman; Davydovych, Vasyl’A new age-structured diffusive model for the mathematical modelling of epidemics is suggested. The model can be considered as a generalization of two models suggested earlier for similar purposes. The Lie symmetry classification of the model is derived. It is shown that themodel admits an infinite-dimensional Lie algebra of invariance. Using the Lie symmetries, exact solutions, in particular those of the travelling wave types and in terms of special functions, are constructed. Examples of application of exact solutions with the correctly-specified parameters for calculation of the total number of infected individuals during an epidemic are presented.Item The cauchy problem for one class of parabolic pseudodifferential equation with deviation of the argument(2015) Drin, Yaroslav; Drin, Iryna; Drin, Svitlana; Kotsur, MaksymIn this paper, we study solvability of the Cauchy problem for a parabolic pseudodifferential equation with the deviation of the argument. Parabolic pseudodifferential operator with non-smooth symbols introduced by Eidel’man and Drin’ for the first time. For such equations, the initial condition is set on a certain interval. Technical and physical reasons for delays can be transport delays, delays in decision-making, delays in information transmission, etc. The most natural are delays when modeling objects in medicine, population dynamics, ecology, etc. Other physical and technical interpretations are also possible, for example, the molecular distribution of thermal energy in various media (liquids, solid bodies, etc.) is modeled by heat conduction equations. Features of the dynamics of vehicles in different environments (water, land, air) can also be taken into account by introducing a delay. The formula for the solution of the Cauchy problem is constructed for the nonlinear equation of heat conduction with a deviation of the argument, its properties are investigated.Item Benjamin-Feir Instability of Interfacial Gravity–Capillary Waves in a Two-Layer Fluid. Part I(2025) Avramenko, Olha; Naradovyi, VolodymyrThis study presents a detailed investigation of the modulational stability of interfacialwave packets in a two-layer inviscid incompressible fluid with finite layer thicknesses and interfacial surface tension. The stability analysis is carried out for a broad range of density ratios and geometric configurations, enabling the construction of stability diagrams in the (𝜌, 𝑘)-plane, where 𝜌 is the density ratio and 𝑘 is the carrier wavenumber. The Benjamin-–Feir index is used as the stability criterion, and its interplay with the curvature of the dispersion relation is examined to determine the onset of modulational instability. The topology of the stability diagrams reveals several characteristic structures: a localized loop of stability within an instability zone, a global upper stability domain, an elongated corridor bounded by resonance and dispersion curves, and a degenerate cut structure arising in strongly asymmetric configurations. Each of these structures is associated with a distinct physical mechanism involving the balance between focusing/defocusing nonlinearity and anomalous/normal dispersion. Systematic variation of layer thicknesses allows us to track the formation, deformation, and disappearance of these regions, as well as their merging or segmentation due to resonance effects. Limiting cases of semi-infinite layers are analyzed to connect the results with known configurations, including the "half-space–layer", "layer–half-space’" and "half-space–half-space" systems. The influence of symmetry and asymmetry in layer geometry is examined in detail, showing how it governs the arrangement and connectivity of stable and unstable regions in parameter space. The results provide a unified framework for interpreting modulational stability in layered fluids with interfacial tension, highlighting both global dispersion-controlled regimes and localized stability islands. This work constitutes Part I of the study; Part II will address the role of varying surface tension, which is expected to deform existing stability domains and modify the associated nonlinear–dispersive mechanisms.Item A Reaction-Diffusion System with Nonconstant Diffusion Coefficients: Exact and Numerical Solutions(2025) Cherniha, Roman; Kriukova, GalynaA Lotka–Volterra-type system with porous diffusion, which can be used as an alternative model to the classical Lotka–Volterra system, is under study. Multiparameter families of exact solutions of the system in question are constructed and their properties are established. It is shown that the solutions obtained can satisfy the zero Neumann conditions, which are typical conditions for mathematical models describing real-world processes. It is proved that the system possesses two stable steady-state points provided its coefficients are correctly specified. In particular, this occurs when the system models the prey–predator interaction. The exact solutions are used for solving boundary-value problems. The analytical results are compared with numerical solutions of the same boundary-value problems but perturbed initial profiles. It is demonstrated that the numerical solutions coincide with the relevant exact solutions with high exactness in the case of sufficiently small perturbations of the initial profiles.Item Методичні рекомендації до виробничої практики для здобувачів другого (магістерського) рівня вищої освіти галузі знань 11 "Математика та статистика", спеціальність 113 "Прикладна математика", освітньо-наукова програма "Прикладна математика"(Національний університет "Києво-Могилянська академія", 2023) Авраменко, Ольга; Власенко, Катерина; Чорней, РусланУ методичних рекомендаціях висвітлено мету, завдання, зміст і особливості організації та проведення виробничої практики магістрантів. Визначено перелік знань, практичних умінь і навичок магістрантів, розкрито особливості оцінювання різних видів діяльності здобувачів під час проходження практики; надано рекомендації по розробці фрагменту конспекту лекції, гурткового та практичного занять, наведено рекомендації по проведенню виховних заходів з основних напрямів виховання; окреслено основні вимоги до оформлення звітної документації магістрантів. Розроблені матеріали повністю співпадають з рекомендаціями поданими на дистанційному курсі "Практика асистентська ПМ (ukma.edu.ua)", відповідають вимогам, викладеним в положенні НаУКМА про практику та забезпечують навчальний план та освітньо-наукову програму "Прикладна математика".Item Локальне керування в мережах Ґордона — Ньюелла(2024) Чорней, РусланЗапропоновано модифікацію мережі Ґордона — Ньюелла з локальною та синхронною взаємодією, яка обслуговує клієнтів у замкнутому режимі. Система околів задається за допомогою деякого скінченного графа вузлів системи. Запропоновано процедуру знаходження оптимальних нерандомізованих стратегій керування для систем із критерієм усереднених в одиницю часу витрат.Item Схема розподiлу секрету, що базується на криптосистемi Голдвассер-Голдрiха-Халевi(2024) Ліхачов, Артемій; Олійник, БогданаЗ розвитком квантових технологiй стає актуальним питання про дослiдження та впровадження криптографiчних примiтивiв, що базуються на складних задачах для квантових обчислень. Такi криптографiчнi примiтиви є стiйкими щодо квантового криптоаналiзу. Прикладом задач, що мають експоненцiйну складнiсть для квантових обчислень, є задачi на решiтках, такi як пошук найкоротшого вектора або пошук найближчого вектора. Однiєю з перших i найвiдомiших квантово-стiйких криптосистем, що в основi свого математичного апарату використовує задачi на решiтках, є криптосистема Голдвасcер-Голдрiха-Халевi. Схема розподiлення секрету є фундаментальним криптографiчним примiтивом, що допускає розподiлення секрету мiж множиною учасникiв, при цьому вiдновлення секрету можливе тiльки при авторизацiї всiх або певної частини учасникiв (порогу учасникiв). Також необхiдною умовою схеми розподiлення секрету є неможливiсть окремих учасникiв, або груп учасникiв, кiлькiсть яких менша за порiг, вiдновити секрет. Варiанти побудови схем розподiлу секрету на рiзних математичних моделях, у тому числi на решiтках, наразi активно дослiджуються, оскiльки вони дозволяють проводити надiйнi багатостороннi обчислення, безпечно поширювати iнформацiю шляхом поширення i розподiлення оригiналу даних мiж рiзними серверами, для побудови компiляторов схем iз захистом вiд витоку тощо. У цiй роботi запропоновано нову квантово-стiйку n-порогову схему розподiлу секрету для n учасникiв, що базується на криптосистемi Голдвасcер-Голдрiха-Халевi.Item Вiдновлююче спектральне число графа K4(2024) Аверкін, Олександр; Тимошкевич, ЛарисаСтаттю присвячено дослiдженню обернених спектральних задач для зважених графiв. Розглянуто задачу щодо вiдновлення ваг на множинi ребер графа за спектрами його iндукованих пiдграфiв. Завдяки широкому колу застосувань, оберненi спектральнi задачi активно вивчають для рiзних класiв матриць: зазвичай вони зводяться до вiдновлення матрицi (або її частини) за спектром самої матрицi чи її пiдматриць. Наша задача стосується класу нерозкладних симетричних матриць з невiд’ємними елементами та нулями на головнiй дiагоналi — матриць сумiжностi зв’язних зважених графiв. Ключовим поняттям цiєї роботи є вiдновлююче спектральне число графа Srn(G) — мiнiмальна кiлькiсть спектрiв iндукованих пiдграфiв, необхiдних для однозначного вiдновлення всiх ваг ребер графа G. Головним результатом дослiдження є знаходження точного значення Srn(K4) для повного графа на чотирьох вершинах. Одержанi результати та використанi у роботi методи можуть бути застосованi в подальших дослiдженнях, зокрема для визначення точних значень вiдновлюючого спектрального числа iнших графiв.