Кафедра математики
Permanent URI for this collection
Browse
Recent Submissions
Item Nowcasting як сучасний підхід до оцінювання ВВП України: порівняння з традиційними моделями прогнозування(Національний університет "Києво-Могилянська академія", 2025) Болотов, Єгор; Дрінь, СвітланаМетою даного дослідження є порівняльний аналіз точності прогнозів ВВП України. До таких сучасних підходів до прогнозування на основі моделей змішаної частоти належать векторної авторегресії (MF-VAR) [1] та їх факторних розширень (MF-FAVAR) з традиційними моделями прогнозування. Особливий акцент робиться на їх здатності інтегрувати багаточастотні та нетрадиційні джерела інформації. Це дослідження є особливо актуальним, оскільки, хоча в українській науці вже існують дослідження змішаних частотних моделей на національному рівні (наприклад, U-MIDAS [2]), сучасні економічні підходи, такі як MF-FAVAR, ще не застосовувалися для регіональних прогнозів.Item Фрактально-дифузійні генеративні моделі: ієрархічний підхід до синтезу зображень(Національний університет "Києво-Могилянська академія", 2025) Шалімов, Андрій; Авраменко, ОльгаУ цьому дослідженні пропонується модифікація FGM із використанням дифузійної нейронної мережі на архітектурі U-Net як альтернативного генератора. Такий підхід підвищує паралельність процесу, скорочує час синтезу й інтегрує ієрархічний самоподібний принцип у стандартну дифузійну модель.Item PINN Modeling of Interfacial Gravity-Capillary Waves(Національний університет "Києво-Могилянська академія", 2025) Avramenko, Olha; Sontikov, MaksymThis paper presents an automated computational framework for modeling hydrodynamic processes using physics-informed neural networks (PINNs). The modular system integrates all stages of numerical experimentation — from data generation and model training to validation and accuracy evaluation — ensuring reproducibility, flexibility, and scalability. The framework was verified on the classical problem of interfacial gravity–capillary waves between two incompressible fluids, using the analytical solution as a benchmark for numerical assessment. Computational experiments showed that increasing the number of training points from 400 to 1000 improved accuracy and convergence, with the Extended configuration achieving 98.86% accuracy and a MAPE of 1.14%, while Adaptive_LR remained stable. The results confirm the reliability and efficiency of the proposed PINN-based framework for solving complex hydrodynamic problems governed by nonlinear partial differential equations.Item Moore-Penrose Pseudoinverse Matrix(Національний університет "Києво-Могилянська академія", 2025) Kravchuk, Oleg; Kriukova, GalynaThe Moore-Penrose pseudo-inverse is a foundational concept in modern numerical linear algebra, offering a principled approach to solving ill-posed and inconsistent systems arising in machine learning and other fields. This paper explores the pseudo-inverse from five distinct perspectives — axiomatic, variational, regularization, spectral, and algebraic graph theory — highlighting its theoretical depth and practical relevance across disciplines such as machine learning, signal processing, and network analysis.Item Гра з неповною інформацією на прикладі спортивного бетінгу(Національний університет "Києво-Могилянська академія", 2025) Куцалаба, Назарій; Чорней, РусланУ сучасному спортивному аналітичному середовищі прогнозування результатів матчів є однією з ключових задач, що поєднує методи статистики, машинного навчання та теорії ігор.Item DecisioNet з пропорційним розподілом обчислювальних потужностей(Національний університет "Києво-Могилянська академія", 2025) Мокрий, Михайло; Швай, НадіяУ цьому дослідженні розглянуто нейронну мережу з бінарною деревоподібною структурою DecisioNet (DN) [1], яка належить до категорії нейронних дерев рішень [2] та представлено нову версію моделі з пропорційним розподілом обчислювальних ресурсів.Item Efficient Policy Learning via Knowledge Distillation for Robotic Manipulation(Національний університет "Києво-Могилянська академія", 2025) Severhin, Oleksandr; Kuzmenko, Dmytro; Shvai, NadiyaThe work focuses on the computational intractability of large-scale Reinforcement Learning (RL) models for robotic manipulation. While world-like models like TD-MPC2 demonstrate high performance in various manipulative tasks, their immense parameter count (e.g., 317M) hinders training and deployment on resource-constrained hardware. This research investigates Knowledge Distillation (KD) with a loss function specifically described in [1] and [2] as a primary method for model compression. This involves training a lightweight "student" model to mimic the behavior of a large, pre-trained "teacher" model. Unlike in supervised learning, distilling knowledge in RL is uniquely complex; the objective is to transfer a dynamic, reward-driven policy, not a simple input-output function.Item Validating Architectural Hypotheses in Neural Decision Trees with Neural Architecture Search(2025) Mykytyshyn, Artem; Shvai, NadiiaThis article introduces an automated and unbiased framework for validating architectural hypotheses for neural network models, with a particular focus on Neural Decision Trees (NDTs). The proposed methodology employs Neural Architecture Search (NAS) as an unbiased tool to explore architectural variations and empirically assess theoretical claims. To demonstrate this framework, we investigate a hypothesis found in the literature: that the complexity of decision nodes in NDTs decreases monotonically with tree depth. This assumption, initially motivated by the task of monocular depth estimation, suggests that deeper nodes in the tree require fewer parameters due to simpler split functions. To rigorously test this hypothesis, we conduct a series of NAS campaigns over the CIFAR-10 image and fully connected layers, while all other architectural components are held constant to isolate the effect of node depth. By applying Tree-structured Parzen Estimator (TPE)-based NAS and evaluating over 300 architectures, we quantify complexity metrics across tree levels and analyze their correlations using Spearman’s rank coefficient. The results provide no statistical or visual evidence supporting the hypothesized trend: node complexity does not decrease with depth. Instead, complexity remains nearly constant across levels, regardless of tree depth or search space size. These results suggest that assumptions derived from specific applications may not generalize to other domains, underscoring the importance of empirical validation and careful searchspace design. The presented framework may serve as a foundation for verifying other structural assumptions across various neural network families and applications.Item Robustness of Neural Decision Trees to Noise in Input Data for Image Classification Tasks(2025) Mokryi, Mykhailo; Shvai, NadiiaNeural networks, particularly convolutional neural networks (CNNs), have demonstrated high effectiveness in image classification tasks. However, they are known to be vulnerable to input data perturbations and have weak interpretability due to their black-box nature. In contrast, traditional decision trees (DTs) provide transparent decision-making processes, but are limited to low-dimensional or tabular data, restricting their field of application in computer vision tasks such as image classification. To address this gap, a hybrid architecture known as Neural Decision Trees (NDTs) has emerged, combining strong generalization and learning capabilities of neural networks, with transparent hierarchical inference and interpretability of DTs. The article investigates the robustness of NDTs to noise in input data for image classification tasks. Despite the extensive studies covering the robustness of both CNNs and traditional DTs against various forms of input perturbations, the robustness of NDT models remains a largely underexplored area. This study provides two robust training methods to improve robustness: constant noise learning and incremental noise learning, originally developed for CNNs, but which can be effectively applied to NDT-based architectures and significantly improve the robustness to noisy images for models. These methods involve adding perturbed samples via a Gaussian blur during the training stage. The noisy test set consists of images perturbed by a Gaussian blur and is used to evaluate the robustness performance. A series of experiments were conducted on the CIFAR-10 dataset using the original training baseline and robust training methods. The results demonstrate that constant and incremental noise learning significantly improve the robustness of all tested NDT models to noisy images compared to their original training performance. While the ResNet18 baseline model demonstrates higher overall performance, the NDT models show comparable robustness improvements using the proposed robust training strategies. Constant noise learning offered an adjustable trade-off between performance on clean and noisy images, while incremental noise learning provided a more stable training process. The first method is considered preferable due to the simplicity of implementation. This study empirically confirms that NDT models can effectively use methods adapted from CNNs to improve their robustness against perturbations in input data. An NDT framework was developed to conduct training and validation using a standardized shared pipeline. It is available via the link: github.com/ MikhailoMokryy/NDTFramework.Item Готфрiд Лейбнiц i створення диференцiального числення(2025) Федоровська, КатеринаУ статтi розглядається внесок Готфрiда Вiльгельма Лейбнiца у створення диференцiального числення в контекстi його фiлософської системи. Дослiджено взаємозв’язок мiж метафiзичною концепцiєю монад та математичним поняттям нескiнченно малих величин. Проаналiзовано публiкацiю "Nova methodus pro maximis et minimis" 1684 року як першу друковану працю з диференцiального числення. Висвiтлено особливостi лейбнiцiвського пiдходу до математичного аналiзу, його нотацiю та методологiю. Розглянуто iсторичну суперечку щодо прiоритету винаходу числення мiж Лейбнiцем та Ньютоном. Показано вплив фiлософських iдей Лейбнiца на формування сучасного математичного аналiзу.Item Про розв’язнiсть задачi пошуку нерухомої точки вiдображення в просторах багатовимiрних послiдовностей(2025) Гончаренко, Юрiй; Ляшко, Вiктор; Тимошенко, Андрiй; Чорней, РусланУ статтi розглянуто задачу пошуку нерухомої точки для вiдображень у просторах багатовимiрних послiдовностей. Автори формулюють i доводять основну теорему, що забезпечує iснування та єдинiсть розв’язку рiвняння типу x = h + Ax, де A є лiнiйним оператором у просторi Банаха з певними властивостями. В роботi введено систему пiвнорм, яка узгоджується з нормою простору та задовольняє умови монотонностi й обмеженостi. Використовуючи метод послiдовних наближень та аналiз збiжностi вiдповiдного ряду, доведено iснування розв’язку задачi, а також отримано оцiнки для норми розв’язку. Особливу увагу придiлено доведенню обмеженостi оператора та унiкальностi розв’язку, що гарантує коректнiсть постановки задачi. Запропонованi результати є розвитком класичних пiдходiв до задачi нерухомих точок у новому контекстi багатовимiрних послiдовностей, що мають як теоретичну, так i прикладну цiннiсть.Item Про деякi властивостi майже перiодичних функцiй(2025) Кашпіровський, Олексій; Митник, ЮрійДослiджуються достатнi умови показникiв λn та коєфiцiєнтiв Фур’є, при виконаннi яких майже перiодичнi функцiї f(t) з простору Безиковича B2 неперервнi, неперервно-диференцiйовнi та голоморфнi. У випадку показникiв λn, що мають степеневу асимптотику λn = L(nα + εn), де L ∈ R1, α > 0, εn → 0 при n → +∞ отримано аналог теореми Соболєва про вкладення. Для показникiв λn, що за n → +∞ зростають повiльнiше довiльного додатного степеня n, описано клас функцiй з простору Безиковича B2, що мають аналiтичне продовження у пiвплощину Re s > a ≥ 0. До таких функцiй належить дзета-функцiя Рiмана ζ(s). Для функцiй з B2, у яких показники λn прямують до нуля, встановленi достатнi умови аналiтичного продовження до цiлих функцiй 1-го експоненцiального порядку.Item Спектральнi вiдновлювальнi числа графiв C3 + e та K4 − e(2025) Тимошкевич, Лариса; Чернявська, КаринаУ статтi дослiджено обернену спектральну задачу для зважених графiв. Розглянуто проблему вiдновлення додатних ваг ребер графа за спектрами його iндукованих пiдграфiв. Основну увагу придiлено знаходженню точного значення спектрального вiдновлювального числа Srn(G) для графiв Srn(C3 + e) та Srn(K4 − e) — мiнiмальної кiлькостi спектрiв iндукованих пiдграфiв, необхiдних для однозначного вiдновлення всiх ваг ребер графа. Отриманi результати завершують визначення спектральних вiдновлювальних чисел для всiх зв’язних графiв порядку не бiльш як чотири. Вони можуть бути використанi для подальших дослiджень обернених спектральних задач та розробки алгоритмiв вiдновлення ваг на ребрах графiв.Item Поточне прогнозування ВВП за допомогою моделей факторiв зi змiшаною частотою для українських регiонiв(2025) Дрінь, Світлана; Журавльова, Анастасiя; Крюкова, ГалинаСвоєчасна оцiнка регiональної економiчної активностi є ключовою для прийняття обґрунтованих рiшень та реагування на кризовi ситуацiї, особливо в економiках, де офiцiйна статистика публiкується iз суттєвими затримками. В Українi данi про валовий регiональний продукт (ВРП) оприлюднюються лише один раз на рiк iз запiзненням до 16 мiсяцiв, що значно ускладнює монiторинг економiчної ситуацiї в реальному часi. У цьому дослiдженнi запропоновано модель Mixed-Frequency Factor-Augmented Vector Autoregression (MF-FAVAR) для теперiшнього прогнозування (nowcasting) квартального зростання ВРП для київського регiону шляхом поєднання рiчних, квартальних i мiсячних показникiв. Запропонована структура iнтегрує традицiйнi макроекономiчнi статистичнi показники з високочастотними цифровими сигналами, отриманими з Google Trends, що дає змогу вiдстежувати змiни у споживчих настроях та поведiнкових патернах. Цi цифровi iндикатори виступають проксi змiн у споживчих настроях, намiрах щодо витрат i очiкуваннях на ринку працi, надаючи додаткову iнформацiю порiвняно з офiцiйною статистикою, що публiкується iз затримкою. Зменшення розмiрностi даних здiйснюється за допомогою сучасних методiв факторної екстракцiї, розроблених для неповних i неузгоджених наборiв даних, зокрема Expectation–Maximisation Principal Component Analysis (EMPCA), Bayesian PCA (BPCA) та Singular Value Decomposition Imputation (SVDI). Рiчний ряд ВРП було перетворено на квартальний за допомогою методу Дентона–Шолетта, що забезпечує узгодженiсть з офiцiйними пiдсумками. Емпiричнi результати показують, що факторна екстракцiя на основi EMPCA забезпечує найстабiльнiшi та найточнiшi коротко-, середньо- та довгостроковi прогнози. Зокрема, EMPCA досягає найменших значень середньоквадратичної похибки прогнозу (RMSFE) та безперервного рангового ймовiрнiсного показника (CRPS), що пiдтверджує її стiйкiсть у умовах обмежених i зашумлених даних. Отриманi результати свiдчать, що моделi зi змiшаною частотою та факторною структурою є ефективним iнструментом для регiонального nowcasting за умов нестачi даних, що робить їх особливо релевантними для перехiдних i кризових економiк, таких, як Україна.Item Iterative demand optimization using the discrete functional particlemethod(2025) Drin, Svitlana; Avdieienko, Ivan; Chornei, RuslanThis article addresses the challenge of assortment planning in retail under uncertain demand and operational constraints. It develops a hybrid methodology that integrates SARIMAX time-series forecasting with the Discrete Functional Particle Method (DFPM) for optimisation, enabling both strategic (long-term) and tactical (monthly) decision support. The proposed framework combines statistical forecasting with iterative optimisation in order to balance predictive accuracy and operational feasibility. In the forecasting stage, a SARIMAX model with exogenous regressors captures seasonality, promotions, and demand fluctuations, while a safeguard mechanism prevents excessively pessimistic predictions. In the optimisation stage, DFPM is applied to a quadratic objective under linear constraints, with parameters tuned using eigenvalue analysis of the risk matrix. A novel operational risk metric—the Inventory Efficiency Ratio—is introduced, defined as the ratio of leftover stock value to revenue, and used to construct the covariance structure for optimisation. A hybrid strategy blends the mathematically optimal allocation with a baseline derived from historical sales shares, ensuring both practical stability and data-driven improvements. Tactical adjustments refine this strategic solution by incorporating seasonal indices and business constraints such as minimum and maximum category weights. The framework is implemented in Python and evaluated on real-world retail data from a Ukrainian anti-stress toy retailer. Results demonstrate a 25% reduction in operational risk and a threefold increase in inventory turnover, while maintaining realistic revenue forecasts. Overall, the work contributes a flexible and reproducible decision-support methodology that unifies modern forecasting and optimisation techniques, providing practitioners with a tool for improving assortment decisions in dynamic retail environments.Item Portfolio optimization for real data: approaches and chal-lenges(2025) Burdym, Anastasiia; Danyliuk, Yevheniia; Shchestyuk, NataliyaPortfolio optimization continues to be a dynamic field within finance, integrating new theories and technologies to better meet investor needs. As financial markets evolve, so too will the methodologies used to optimize portfolios, making it an area ripe for ongoing research and innovation. Classical Markowitz approach is based on the mean-variance optimization, which quantifies the tradeoff between risk (variance) and return (expected return). This approach had some limitations. It assumes investors are rational, markets are efficient, and asset returns are normally distributed. As a response to the some limitations of Markowitz theory minimum-VaR approach was appeared. This theory recognizes some assymetry, that investors are more concerned about potential losses than gains and incorporates downside risk measures like Value-at-Risk. Despite advancements of the classical Markowitz theory and minimum VaR approach, challenges remain in accurately estimating parameters, singularity of the covariance matrix and managing risks in volatile markets. In this paper we consider the mean-variance and mean-Var optimal portfolios and take into account the case when the covariance estimated matrix is singular. We use the Moore-Penrose pseudoinverse and Singular Value Decomposition (SVD) to find solutions. We apply these approaches and methodics to real financial data, construct mean-variance and mean-Var optimal portfolios and compare the dynamics of expected returns (mean), volatility and VaR for it. Thanks to the proposed approaches, the investor gets a tool that allows him to make decisions about choosing an approach to building an optimal portfolio, as well as taking into account the singularity of the covariance matrix.Item PINN-based machine learning for modeling internal waves insemi-infinite fluids(2025) Avramenko, Olha; Kompan, Serhii; Sarana, MaksymThis study investigates the application of Physics-Informed Neural Networks (PINNs) for modelingwave processes at the interface between two incompressible fluids of differing densities. As a first step,the linear formulation of the problem is considered, which admits an analytical solution based on aspectral method involving Fourier decomposition of the initial perturbation. This solution serves as abenchmark for testing and validating the accuracy of the PINN predictions.The implementation is carried out in Python using specialized libraries such as TensorFlow, NumPy,SciPy, and Matplotlib, which provide both efficient deep learning frameworks and tools for solving mathe-matical physics problems numerically. The approach integrates artificial intelligence with domain-specificknowledge in hydrodynamics, enabling the construction of interpretable and physically consistent mod-els. Particular attention is given to the organization of the computational experiment, automation ofvisualizations, and storage of intermediate results for further analysis. The PINN model includes a lossfunction that encodes the governing equations and boundary conditions, and the training is conductedon randomly sampled points across the spatio-temporal domain. The influence of network architectureand training parameters on solution accuracy is examined. Visualization of loss function evolutionand predicted wave profiles provides insight into convergence behavior and physical plausibility of thesolutions.A comparative analysis between the PINN-based and analytical solutions across different time in-stances is presented, revealing phase shifts and amplitude deviations. The model demonstrates goodagreement at early times and a gradual accumulation of errors as time progresses—an expected featureof this class of methods. The results confirm the feasibility of applying the PINN framework to linearhydrodynamic problems, laying the groundwork for future extensions to weakly and strongly nonlinearregimes, including studies of wave stability and nonlinear wave dynamics.Item Наскрізна програма практики : методичні рекомендації для здобувачів другого (магістерського) рівня вищої освіти за спеціальністю F1 "Прикладна математика", освітньо-наукова програма "Прикладна математика"(Національний університет "Києво-Могилянська академія", 2025) Авраменко, Ольга; Власенко, Катерина; Чорней, Руслан; Лимарченко, Олег; Компан, Сергій"Наскрізна програма практики" для здобувачів другого (магістерського) рівня вищої освіти за спеціальністю F1 "Прикладна математика" Національного університету "Києво-Могилянська академія" визначає зміст, організацію та вимоги до проходження виробничої та науково-дослідної практик. Документ структуровано відповідно до освітньо-наукової програми і містить опис мети та завдань практичної підготовки, перелік очікуваних компетентностей і програмних результатів навчання, обов’язки та права студентів, форми контролю та критерії оцінювання. Програма виробничої практики (3 кредити ECTS) спрямована на ознайомлення студентів з особливостями професійного середовища, застосування математичних методів, програмування та моделювання в умовах підприємств, установ та ІТ-компаній. Науково-дослідна практика (6 кредитів ECTS) орієнтована на розвиток дослідницьких компетентностей, формування навичок постановки наукових проблем, побудови математичних моделей, проведення чисельних експериментів і підготовку до написання магістерської роботи. Документ також містить орієнтовні індивідуальні завдання, вимоги до звітної документації, приклади оформлення титульних аркушів і щоденників практики, а також типовий договір з базою практики. Програма забезпечує інтеграцію теоретичних знань і практичних навичок, сприяє професійному самовизначенню магістрантів та їхній підготовці до наукової й професійної діяльності у сфері прикладної математики.Item Modulational stability of wave packets at fluid interface of layer and half-space(2025) Avramenko, Olha; Naradovyi, VolodymyrThe modulational stability of internal wave packets propagated along the surface of a hydrodynamic system consisting of a lower half-space and an upper layer covered with a rigid lid is investigated. The study is conducted within the framework of a nonlinear low-dimensional model incorporating surface tension on an interface using the method of multi-scale expansions implemented via symbolic computation. The evolution equation of the envelope of the wave packet takes the form of the Schrodinger equation. Conditions ¨ for the modulational stability of the solution of the evolution equation are identified for various physical and geometrical characteristics of the system. Significant influence on the modulational stability of the system’s geometrical characteristics and surface tension is observed for relatively small liquid layer thicknesses. For large layer thicknesses, the stability diagram degenerates to that of a system composed of two half-spaces.Item Knowledge Transfer in Model-Based Reinforcement Learning Agents for Efficient Multi-Task Learning(2025) Kuzmenko, Dmytro; Shvai, NadiyaWe propose an efficient knowledge transfer approach for modelbased reinforcement learning, addressing the challenge of deploying large world models in resource-constrained environments. Our method distills a high-capacity multi-task agent (317M parameters) into a compact 1M parameter model, achieving state-of-the-art performance on the MT30 benchmark with a normalized score of 28.45, a substantial improvement over the original 1M parameter model’s score of 18.93. This demonstrates the ability of our distillation technique to consolidate complex multi-task knowledge effectively. Additionally, we apply FP16 post-training quantization, reducing the model size by 50% while maintaining performance. Our work bridges the gap between the power of large models and practical deployment constraints, offering a scalable solution for efficient and accessible multi-task reinforcement learning in robotics and other resource-limited domains.