Fractional calculus and its application in financial mathematics
Loading...
Date
2024
Authors
Zubritska, Dariia
Shchestyuk, Nataliya
Sluchynskyi, Dmytro
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Abstract
Fractional calculus extends classical calculus by allowing differentiation and integration of non-integer orders, providing valuable tools for analyzing complex systems. In this part of the paper we demonstrate the main methods of fractional calculus, including Euler’s, Riemann-Liouville, and Caputo approaches. The behavior of functions such as xn, eλx, and sin(x) is analyzed for fractional orders, demonstrating how fractional differentiation results in varying patterns of growth and decay. The second part explores the application of fractal derivatives in financial mathematics. We present the use of the Riemann-Liouville derivative to model stock prices in illiquid markets, where the price of an asset may remain unchanged for some time. For this, subdiffusion processes and a fractal integrodifferential equation with the Riemann-Liouville derivative are used. The idea of subdiffusion models is to replace the calendar time t in the risk-free bond motion and classical GBM by some stochastic process Ht, which represents a hitting time, which is interpreted as the first time at which Gt hits the barrier t. Next, we focus on the pricing of a European option when the underlying asset is illiquid. The option price is found as a solution to a fractal Dupire integro-differential equation, in which the time derivative is replaced by the Dzerbayshan–Caputo (D-K) derivative. The D–K derivative is a generalization of the Caputo approach. The form of the D–K derivative depends on a random process Gt, called the subordinate. We take a standard inverse Gaussian process with parameters (1,1) as the subordinate Gt and formulate the Proposition about the form of the fractal Dupire equation for the chosen subordinate. These approaches provide tools that allow the investor to take into account the illiquidity of the financial markets.
Description
Фракцiйне числення розширює класичне числення, дозволяючи диференцiювання та iнтегрування довiльного (нецiлого) порядку, що надає цiннi iнструменти для аналiзу складних систем. У цiй частинi роботи ми демонструємо основнi методи фракцiйного числення, зокрема пiдходи Ейлера, Рiмана-Лiувiлля та Капуто. Аналiзується поведiнка функцiй, таких як xn, eλx i sin(x), для фракцiйних порядкiв, що демонструє, як фракцiйне диференцiювання призводить до рiзних закономiрностей зростання та згасання. У другiй частинi дослiджується застосування фрактальних похiдних у фiнансовiй математицi. Ми представляємо використання похiдної Рiмана-Лiувiлля для моделювання динамiки цiн акцiй на нелiквiдних ринках, де вартiсть активу може залишатися незмiнною протягом деякого часу. Для цього використовуються субдифузiйнi процеси та фрактальне iнтегро-диференцiальне рiвняння з похiдною Рiмана-Лiувiлля. Iдея субдифузiйних моделей полягає в тому, щоб замiнити календарний час t у русi безризикової облiгацiї та класичному геометричному броунiвському русi (GBM) деяким стохастичним процесом Ht, який є моментом досягнення певного рiвня. Його можна iнтерпретувати як перший момент, коли процес Gt досягає бар’єру t. Далi ми зосереджуємося на оцiнюваннi цiни європейського опцiону у випадку, коли базовий актив є нелiквiдним. Цiна опцiону визначається як розв’язок фрактального iнтегро-диференцiального рiвняння Дюпiра, в якому похiдна за часом замiнюється похiдною Джербашяна-Капуто (D–K). Похiдна D–K є узагальненням пiдходу Капуто. Форма похiдної D–K залежить вiд випадкового процесу Gt, який називають субординатою. Ми розглядаємо стандартний обернений гаусiвський процес iз параметрами (1,1) як субординату Gt i формулюємо твердження про вигляд фрактального рiвняння Дюпiра для вибраної субординати. Завдяки запропонованим пiдходам iнвестор отримує iнструменти, що дозволяють йому враховувати нелiквiднiсть фiнансових ринкiв.
Keywords
fractional calculus, Riemann-Liouville derivative, Euler’s approach, Riemann-Liouville approach, Caputo‘s approach, subdiffusion, Dupire equation, Black-Scholes model, Partial Integro-Differential Equations, Dzerbayshan–Caputo derivatives, subordinator, article, фракцiйне числення, похiдна Рiмана-Лiувiлля, пiдхiд Ейлера, пiдхiд Рiмана-Лiувiлля, пiдхiд Капуто, субдифузiя, рiвняння Дюпiра, модель Блека-Шоулза, частковi iнтегро-диференцiальнi рiвняння, похiднi Джербашяна-Капуто, субордината
Citation
Zubritska,D. Fractional calculus and its application in financial mathematics / D. Zubritska, N. Shchestyuk, D. Sluchynskyi // Могилянський математичний журнал. - 2024. - Т. 7. - C. 24-34. - https://doi.org/10.18523/2617-70807202424-34