The nonlocal problem for fractal diffusion equation
Loading...
Date
2022
Authors
Drin, Yaroslav
Drin, I.
Drin, Svitlana
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Abstract
Over the past few decades, the theory of pseudodifferential operators (PDO) and equations with such operators (PDE) has been intensively developed. The authors of a new direction in the theory of PDE, which they called parabolic PDE with non-smooth homogeneous symbols (PPDE), are Yaroslav Drin and Samuil Eidelman. In the early 1970s, they constructed an example of the Cauchy problem for a modified heat equation containing, instead of the Laplace operator, PDO, which is its square root. Such a PDO has a homogeneous symbol |σ|, which is not smooth at the origin. The fundamental solution of the Cauchy problem (FSCP) for such an equation is an exact power function. For the heat equation, FSCP is an exact exponential function. The Laplace operator can be interpreted as a PDO with a smooth homogeneous symbol |σ|^2, σ ∈ Rn. A generalization of the heat equation is PPDE containing PDO with homogeneous non-smooth symbols. They have an important application in the theory of random processes, in particular, in the construction of discontinuous Markov processes with generators of integro-differential operators, which are related to PDO; in the modern theory of fractals, which has recently been rapidly developing. If the PDO symbol does not depend on spatial coordinates, then the Cauchy problem for PPDE is correctly solvable in the space of distribution-type generalized functions. In this case, the solution is written as a convolution of the FSCP with an initial generalized function. These results belong to a number of domestic and foreign mathematicians, in particular S. Eidelman and Y. Drin (who were the first to define PPDO with non-smooth symbols and began the study of the Cauchy problem for the corresponding PPDE), M. Fedoruk, A. Kochubey, V. Gorodetsky, V . Litovchenko and others. For certain new classes of PPDE, the correct solvability of the Cauchy problem in the space of Hölder functions has been proved, classical FSCP have been constructed, and exact estimates of their power-law derivatives have been obtained [1–4].
Of fundamental importance is the interpretation of PDO proposed by A. Kochubey in terms of hypersingular integrals (HSI). At the same time, the HSI symbol is constructed from the known PDO symbol and vice versa [6]. The theory of HSI, which significantly extend the class of PDO, was developed by S. Samko [7]. We extends this concept to matrix HSI [5]. Generalizations of the Cauchy problem are non-local multipoint problems with respect to the time variable and the problem with argument deviation. Here we prove the solvability of a nonlocal problem using the method of steps. We consider an evolutionary nonlinear equation with a regularized fractal fractional derivative α ∈ (0, 1] with respect to the time variable and a general elliptic operator with variable coefficients with respect to the second-order spatial variable. Such equations describe fractal properties in real processes characterized by turbulence, in hydrology, ecology, geophysics, environment pollution, economics and finance.
Description
Протягом останніх кількох десятиліть інтенсивно розвивається теорія псевдодиференціальних операторів (ПДО) та рівнянь із такими операторами (ПДР). Авторами нового напрямку теорії ПДР, названого параболічні ПДР з негладкими однорідними символами (ППДР), є Ярослав Дрінь і Самуїл Ейдельман. На початку 70-х років минулого століття вони побудували приклад задачі Коші для модифікованого рівняння теплопровідності, що містить замість оператора Лапласа ПДО, що є його квадратним коренем. Такий ПДО має однорідний символ |σ|, негладкий у початку координат. Фундаментальний розв’язок задачі Коші (ФРЗК) для такого рівняння є точною степеневою функцією. Для рівняння теплопровідності ФРЗК є точною експонентною функцією. Оператор Лапласа можна тлумачити як ПДО з однорідним гладким символом |σ|^2, σ ∈ Rn. Узагальненням рівняння теплопровідності є ППДР, що містять ПДО з однорідними негладкими символами. Вони мають важливе застосування в теорії випадкових процесів, зокрема, при побудові розривних марківських процесів з твірними інтегро-диференціальними операторами, які відносяться до ПДО, у сучасній теорії фракталів, яка останнім часом бурхливо розвивається. Якщо символ ПДО не залежить від просторових координат, то задача Коші для ППДР коректно розв’язна у просторі узагальнених функцій типу розподілів. Розв’язок при цьому записується як згортка ФРЗК із початковою узагальненою функцією. Ці результати належать низці вітчизняних та зарубіжних математиків, зокрема С. Ейдельману та Я. Дріню (які першими визначили ППДО з негладкими символами та розпочали дослідження задачі Коші для відповідних ППДР), М. Федорюку, О. Кочубею, В. Городецькому, Літовченку та ін. Для певних нових класів ППДР доведено коректну розвʼязність задачі Коші у просторі гельдерових функцій, побудовано класичні ФРЗК, отримано точні оцінки їх похідних степеневого характеру [1–4]. Принципово важливим є запропоноване А. Кочубеєм тлумачення ПДО через гіперсингулярні інтеграли (ГСІ). При цьому за відомим символом ПДО будується символ ГСІ і навпаки [6]. Теорія ГСІ, що суттєво розширює клас ПДО, розроблена С. Самком [7]. Це поняття розповсюджено на матричні ГСІ [5]. Узагальненням задачі Коші є нелокальні багатоточкові за часовою змінною задачі та задача з відхиленням аргументу. Тут доведено розвʼязність нелокальної задачі з використанням методу кроків. Розглядаємо еволюційне нелінійне рівняння з регуляризованою фрактальною похідною дробового порядку α ∈ (0, 1] за часовою змінною та еліптичний оператор зі змінними коефіцієнтами просторової змінної. Це рівняння описує фрактальні властивості реальних даних, що виникають у таких прикладних областях, як турбулентність, гідрологія, екологія, геофізика, забруднення середовища, економіка та фінанси.
Keywords
fractal diffusion equation, deviation variable, step by step method, article, рівняння фрактальної дифузії, відхилення змінної, покроковий метод
Citation
Drin Y. The nonlocal problem for fractal diffusion equation / Ya. M. Drin, I. I. Drin, S. S. Drin // Проблеми керування та інформатики. - 2022. - № 1. - C. 47-55. - http://doi.org/10.34229/1028-0979-2022-1-5