Нелiнiйне поширення хвильових пакетiв при хвильових числах, близьких до критичного, в двошаровiй гiдродинамiчнiй системi скiнченної глибин
Loading...
Date
2024
Authors
Нарадовий, Володимир
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Abstract
Розглянуто задачу про поширення слабконелiнiйних хвильових пакетiв у двошаровiй гiдродинамiчнiй системi "шар з твердим дном — шар з кришкою". Для дослiдження та аналiзу використано метод багатомасштабних розвинень (МБР) до третього порядку, що дає можливiсть отримати першi наближення дослiджуваної моделi, якi є лiнiйними вiдносно невдомих функцiй, що є доданками у вiдповiдних розкладах. У результатi вдається отримати еволюцiйне рiвняння обвiдної хвильових пакетiв у формi нелiнiйного рiвняння Шредiнгера. Коли частота центру хвильового пакету близька до нуля, отриманi з МБР результати не можуть бути використанi для моделювання хвильових рухiв у дослiджуванiй системi. В статтi розглянуто граничний випадок поширення хвильових пакетiв при навколокритичних хвильових числах. На основi дисперсiйного спiввiдношення та умов розв’язуваностi другого та третього наближень встановлено, що поширення хвильових пакетiв при хвильових числах, близьких до критичного, описується нелiнiйним рiвнянням Шредiнгера. Отримане рiвняння мiстить першу похiдну за просторовою координатою та двi похiднi за часовою координатою i може бути поширеним на всi хвильовi числа. Також виведено спiввiдношення мiж хвильовим числом та малим параметром.
Description
The problem of the propagation of weakly nonlinear wave packets in a two-layer hydrodynamic system, "layer with a solid bottom — layer with a lid," is considered. The method of multiple-scale expansions (MSE) up to the third order is employed for investigation and analysis. This method allows one to obtain the first approximations of the studied model, which are linear with respect to the unknown functions that are the terms in the respective expansions. As a result, the evolution equation for the wave packet envelope is derived in the form of a nonlinear Schrodinger equation. When the central frequency of the wave packet is close to zero, the results obtained using MSE cannot be applied to model wave motions in the studied system. The article examines the limiting case of wave packet propagation at near-critical wave numbers. Based on the dispersion relation and solvability conditions for the second and third approximations, it is established that the propagation of wave packets at wave numbers close to the critical one is described by the nonlinear Schrodinger equation. The derived equation includes the first spatial derivative and two temporal derivatives and can be extended to all wave numbers. Additionally, a relation between the wave number and the small parameter is derived.
Keywords
внутрiшнi хвилi, нелiнiйне рiвняння Шредiнгера, хвильове число, стаття, internal waves, nonlinear Schrodinger equation, wave number
Citation
Нарадовий В. В. Нелiнiйне поширення хвильових пакетiв при хвильових числах, близьких до критичного, в двошаровiй гiдродинамiчнiй системi скiнченної глибини / Нарадовий В. В. // Могилянський математичний журнал. - 2024. - Т. 7. - C. 57-60. - https://doi.org/10.18523/2617-70807202457-60