About the approximate solutions to linear and non-linear pseudodifferential reaction diffusion equations

Simple item page
dc.contributor.authorDrin, Yaroslav
dc.contributor.authorUshenko, Yuri
dc.contributor.authorDrin, Iryna
dc.contributor.authorDrin, Svitlana
dc.date.accessioned2019-12-09T23:34:42Z
dc.date.available2019-12-09T23:34:42Z
dc.date.issued2019
dc.description.abstractBackground. The concept of fractal is one of the main paradigms of modern theoretical and experimental physics, radiophysics and radar, and fractional calculus is the mathematical basis of fractal physics, geothermal energy and space electrodynamics. We investigate the solvability of the Cauchy problem for linear and nonlinear inhomogeneous pseudodifferential diffusion equations. The equation contains a fractional derivative of a Riemann–Liouville time variable defined by Caputo and a pseudodifferential operator that acts on spatial variables and is constructed in a homogeneous, non-negative homogeneous order, a non-smooth character at the origin, smooth enough outside. The heterogeneity of the equation depends on the temporal and spatial variables and permits the Laplace transform of the temporal variable. The initial condition contains a restricted function. Objective. To show that the homotopy perturbation transform method (HPTM) is easily applied to linear and nonlinear inhomogeneous pseudodifferential diffusion equations. To prove the solvability and obtain the solution formula for the Cauchy problem series for the given linear and nonlinear diffusion equations. Methods. The problem is solved by the NPTM method, which combines a Laplace transform with a time variable and a homotopy perturbation method (HPM). After the Laplace transform, we obtain an integral equation which is solved as a series by degrees of the entered parameter with unknown coefficients. Substituting the input formula for the solution into the integral equation, we equate the expressions to equal parameter degrees and obtain formulas for unknown coefficients. When solving the nonlinear equation, we use a special polynomial which is included in the decomposition coefficients of the nonlinear function and allows the homotopy perturbation method to be applied as well for nonlinear non-uniform pseudodifferential diffusion equation. Results. The result is a solution of the Cauchy problem for the investigated diffusion equation, which is represented as a series of terms whose functions are found from the parametric series. Conclusions. In this paper we first prove the solvability and obtain the formula for solving the Cauchy problem as a series for linear and nonlinear inhomogeneous pseudodifferential equationsen_US
dc.description.abstractПоняття фрактала є однiєю з основних парадигм сучасної теоретичної та експериментальної фiзики, радiофiзики та радiолокацiї, а дробове числення є математичною основою фрактальної фiзики, геотермальної енергiї та космiчної електродинамiки та iнших. Ми дослiджуємо розв’язнiсть задачi Кошi для лiнiйних та нелiнiйних неоднорiдних псевдодиференцiальних рiвнянь дифузiї. Рiвняння мiстить дробову похiдну за часовою змiнною типу Рiмана–Лiувiлля, визначену Капуто, та псевдодиференцiальний оператор, який дiє за просторовими змiнними i побудований за однорiдним, невiд’ємного порядку однорiдностi, негладким у початку координат символом, достатньо гладким за межами початку координат. Неоднорiднiсть рiвняння залежить вiд часової i просторових змiнних та допускає перетворення Лапласа за часовою змiнною. Початкова умова мiстить обмежену функцiю. Мета: показати, що метод гомотопiчної пертурбацiї HPTM (homotopy perturbation transform method) легко застосовувати до лiнiйних та нелiнiйних неоднорiдних псевдодиференцiальних рiвнянь дифузiї. Довести розв’язностi та отримання формули для розв’язку у виглядi ряду задачi Кошi для вказаних лiнiйних та нелiнiйних рiвнянь дифузiї. Методи. Задача розв’язується методом НPTM, який поєднує перетворення Лапласа (Laplaсe transform) за часовою змiнною i метод гомотопiчної пертурбацiї (HPM – homotopy perturbation method). Пiсля перетворення Лапласа отримуємо iнтегральне рiвняння, розв’язок якого шукаємо у виглядi ряду за степенями введеного параметра з невiдомими коефiцiєнтами. Пiсля пiдстановки введеної формули для розв’язку у iнтегральне рiвняння прирiвнюємо вирази бiля однакових степенiв параметра i отримуємо формули для невiдомих коефiцiєнтiв. При розв’язуваннi нелiнiйного рiвняння використовується спецiальний полiномiал, який входить в коефiцiєнти розкладу нелiнiйної функцiї i дозволяє застосувати метод гомотопiчної пертурбацiї i для нелiнiйного неоднорiдного псевдодиференцiального рiвняння дифузiї. Результатом є розв’язок задачi Кошi для дослiджуваного рiвняння дифузiї, який подається у виглядi ряду, членами якого є знайденi функцiї з параметричного ряду. В цiй працi вперше доведена розв’язнiсть та отримана формула для розв’язку задачi Кошi у виглядi ряду для лiнiйних та нелiнiйних неоднорiдних псевдодиференцiальних рiвнянь дифузiї.uk_UA
dc.identifier.citationAbout the approximate solutions to linear and non-linear pseudodifferential reaction diffusion equations / Ya. Drin, Yu. Ushenko, I. Drin, S. Drin // Могилянський математичний журнал. - 2019. - Т. 2. - С. 41-45.uk_UA
dc.identifier.urihttps://ekmair.ukma.edu.ua/handle/123456789/16771
dc.language.isoenuk_UA
dc.relation.sourceМогилянський математичний журналuk_UA
dc.statusfirst publisheduk_UA
dc.subjectLaplace transformen_US
dc.subjectHomotopy perturbation transform methoden_US
dc.subjectfractional reactiondiffusion equationen_US
dc.subjectCaputo time-fractional derivativeen_US
dc.subjectpseudodifferential operatoren_US
dc.subjectarticleen_US
dc.subjectперетворення Лапласаuk_UA
dc.subjectгомотопiчний пертурбацiйний методuk_UA
dc.subjectфракталuk_UA
dc.subjectдробова похiдна за Капутоuk_UA
dc.subjectпсевдодиференцiальний операторuk_UA
dc.subjectстаттяuk_UA
dc.titleAbout the approximate solutions to linear and non-linear pseudodifferential reaction diffusion equationsen_US
dc.title.alternativeПро наближенi розв’язки лiнiйних та нелiнiйних псевдодиференцiальних рiвняньuk_UA
dc.typeArticleuk_UA
Files
Original bundle
Now showing 1 - 1 of 1
Thumbnail Image
Name:
About_the_approximate_solutions_to_linear_and_non-linear_pseudodifferential_reaction_diffusion_equations.pdf
Size:
476.91 KB
Format:
Adobe Portable Document Format
Description:
Download
License bundle
Now showing 1 - 1 of 1
No Thumbnail Available
Name:
license.txt
Size:
7.54 KB
Format:
Item-specific license agreed upon to submission
Description:
Download
Collections
Том 2