Нелінійна хвильова модель буксируваної системи та чисельний метод її розрахунку
Loading...
Date
2024
Authors
Трофимчук, Олександр
Лебідь, Олексій
Калюх, Юрій
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Abstract
Буксирувані системи знайшли широке застосування на практиці. Відомі підводні системи ерліфта великої протяжності для видобутку мінералів (конкрецій) з дна океану протяжністю в 5-10 км. Для вирішення завдань динаміки таких систем в різних середовищах відомі математичні моделі є не цілком коректними з точки зору врахування різноманіття хвильових процесів. Це визначає необхідність побудови уточнених хвильових моделей. У статті отримана нова квазілінійна математична модель, що описує нелінійну чотирьохмодову динаміку буксируваної системи в просторово-неоднорідному полі масових і поверхневих сил. Вона описується нелінійною системою дванадцяти рівнянь першого порядку в часткових похідних. Для неї виконуються принципи граничності і гіперболічності. У сукупності з крайовими і початковими умовами модель може застосовуватися для опису динаміки і статики геометрично і фізично нелінійних стрижневих елементів, паль в ґрунті, канатів кранового обладнання, шахтних підйомників, підвісних канатних доріг, систем, що буксируються в потоці рідини і газу, ін. Апробація двохмодової редукції моделі проведена на основі чисельного рішення задачі про поширення двох хвиль: поздовжніх і конфігураційних. За допомогою чисельного алгоритму і програми на основі методу скінченних різниць проведено порівняння двох різницевих схем: Кранка – Ніколсон та Ейлера. Основними обмеженнями для застосування методу скінченних різниць, використовуваного для чисельного моделювання поширення та відбиття хвиль у БС, є особливості визначальних квазілінійних рівнянь, що пов’язані з необхідністю одночасного обчислення змінних, відповідальних за швидкоплинні та повільні процеси. Для таких систем рівнянь використовується термін «сингулярно збурена система рівнянь». Ці збурення є наслідком значної різниці у швидкостях поширення поздовжніх, конфігураційних хвиль на фізичному рівні. У зв’язку з цим необхідно застосовувати спеціальні покрокові за часом методи регуляризації та фільтрації чисельних результатів. Це накладає певні обмеження на можливість моделювання реальних процесів та на точність отриманих результатів і змушує застосовувати неявні різницеві схеми та високочастотне фільтрування.
Description
Towed systems have found wide practical applications. Notable underwater systems for the long-distance extraction of minerals (concretions) from the ocean floor extend over 5-10 km. The existing mathematical models for solving dynamic problems of such systems in various environments are not entirely accurate regarding the diversity of wave processes. This necessitates the development of refined wave models. This article presents a new quasi-linear mathematical model describing the nonlinear four-mode dynamics of a towed system in a spatially inhomogeneous field of mass and surface forces. It is described by a nonlinear system of twelve first-order partial differential equations. The principles of boundedness and hyperbolicity are satisfied. The validation of the two-mode reduction of the model is based on the numerical solution of the problem of the propagation of two waves: longitudinal and configurational. Using a numerical algorithm and a program based on the finite difference method, a comparison of two difference schemes – Crank-Nicolson and Euler – was conducted. The main limitations for applying the finite difference method used for numerical modeling of wave propagation and reflection in a towed system are the peculiarities of the defining quasi-linear equations, which are related to the necessity of simultaneous computation of variables responsible for fast and slow processes. For such systems of equations, the term "singularly perturbed system of equations" is used. These perturbations result from the significant differences in the propagation speeds of longitudinal and configurational waves at the physical level. Consequently, it is necessary to employ special time-stepping regularization and filtering methods for numerical results. This imposes certain restrictions on the ability to model real processes and on the accuracy of the obtained results, necessitating the use of implicit difference schemes and high-frequency filtering.
Keywords
математичне моделювання, буксирувані системи, хвилі, метод скінченних різниць, стійкість розрахунку, стаття, mathematical modeling, towed systems, waves, finite difference method, stability of computation
Citation
Трофимчук О. М. Нелінійна хвильова модель буксируваної системи та чисельний метод її розрахунку / О. М. Трофимчук, О. Г. Лебідь, Ю. І. Калюх // Екологічна безпека та природокористування. - 2024. - Вип. 51(3). - C. 102-111. - https://doi.org/10.32347/2411-4049.2024.3.102-111