Марковська Ідеальна Рівновага у грі видобутку ресурсів зі степеневими перевагами агентів : дисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії за спеціальністю "Прикладна математика"
Loading...
Date
2023-07
Authors
Силенко, Ілля
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Abstract
Дисертаційна робота присвячена дослідженню виду стохастичної гри з ненульовою сумою, що є відомою в науковій літературі з теорії ігор як гра видобутку ресурсів або гра накопичення капіталу. Теоретичною особливістю цієї гри є незліченний простір станів та незліченні простори рішень її учасників. Маючи практичне значення, концепція гри моделює економічну задачу зі стратегічної взаємодії, що інтерпретується таким чином. Кілька агентів мають у спільній власності деякий відновлюваний актив (капітал, ресурс), що здатен генерувати певну вигоду від його використання. Протягом послідовності з дискретних моментів часу всі гравці одночасно приймають рішення щодо власної поточної кількості до споживання з цього ресурсу, згідно з якою визначається їхній миттєвий прибуток через особисту сталу функцію корисності. Кількість доступного для використання ресурсу в кожен момент часу з'ясовується відповідно до відомого стохастичного закону переходу, що залежить від попередньої кількості ресурсу та обсягів видобутку з нього. Загальний виграш кожного учасника гри обчислюється як дисконтована сума всіх його миттєвих прибутків, очікувану величину якої кожен гравець прагне максимізувати обираючи власну стратегію на початку гри. Основною метою дослідження є доповнити попередні результати з існування в цій грі (Стаціонарної) Марковської Ідеальної Рівноваги, яка вважається концепцією розв'язку в подібних некооперативних іграх. Проблематика її існування є відкритою проблемою в загальній постановці задачі гри видобутку ресурсів, проте становить науковий та практичний інтерес, і тому широко вивчається. У дисертації розглядається модель гри видобутку ресурсів з недослідженого досі класу, для якого характерна довільна кількість учасників, необмежений простір станів та необмежені функції корисності гравців, а також закон переходу між станами у вигляді стохастичного ядра, залежного від спільної інвестиції агентів. Запропонована модель будується набором особливих припущень стосовно переваг гравців та стохастичного закону переходу між станами, які мають широке застосування в економічному моделюванні. По-перше, припускається, що всі гравці володіють ізоеластичними функціями корисності (або CRRA згідно з економічною термінологією) у вигляді степеневих та строго опуклих вгору. По-друге, кожна наступна кількість доступного ресурсу (або стан гри) є лінійним перетворенням залишку від споживання агентів (тобто їхньої спільної інвестиції) з мультиплікативним випадковим збуренням, однаково розподіленим на кожному етапі гри. В економічному моделюванні та фінансовій літературі такий стохастичний процес є поширеним під назвою геометричне випадкове блукання. Запропоновану модель розглянуто як у симетричному, так і несиметричному форматі гри. У симетричній моделі методом зворотної індукції побудовано єдину Марковську Ідеальну Рівновагу в ситуації коли горизонт гри є скінченним. Завдяки монотонній збіжності положень рівноваг та відповідних їм цінових функцій агентів при спрямуванні значення горизонту до нескінченності, встановлено існування симетричної Стаціонарної Марковської Ідеальної Рівноваги в чистих стратегіях для гри з необмеженим горизонтом. Доведено, що отримане положення рівноваги не є оптимальним за Парето, та знайдено формулу для визначення соціально-оптимального профілю стратегій. Також підтверджено надмірне споживання ресурсу гравцями, що перебувають у ситуації рівноваги, порівняно з їхньою соціально-оптимальною поведінкою. Згідно з цим результатом, симетричній моделі гри властива "трагедія спільного поля". Для несиметричної моделі гри з нескінченним горизонтом іншим способом доведено існування Стаціонарної Марковської Ідеальної Рівноваги в чистих стратегіях, й додатково висвітлено її єдиність серед профілів лінійних стратегій. Причому метод доведення, будучи відмінним від випадку симетричності в моделі, так само забезпечує алгоритм побудови положення рівноваги, що особливо доречно для використання результатів на практиці. Симетричну модель гри з нескінченним горизонтом додатково розглянуто в контексті існування чітко виражених соціальних зв'язків між агентами. А саме, передбачено кооперування гравців у межах окремих коаліцій, що не перетинаються та є сталими протягом усієї тривалості гри. Доведено, що для будь-якого розбиття множини гравців на коаліції, між ними існує міжкоаліційна рівновага, тобто положення, від якого жодна коаліція не здатна відхилитися узгодженими діями її учасників у односторонньому порядку так, щоб збільшити сумарний очікуваний дисконтований виграш всієї коаліції. Продовжуючи заглиблення в проблематику трагедії спільного поля у симетричній моделі, встановлено, що для сталої кількості гравців, величина їхнього спільного споживання ресурсу є тим більшою, чим більшою є кількість утворених конкуруючих за ресурс коаліцій, що перебувають у міжкоаліційній рівновазі. Окрім цього, розглядаючи гру видобутку ресурсів з долученою до неї коаліційною складовою, проведено аналіз економічної вигоди для її учасників від утворення певних коаліцій порівняно з іншими. Структура дисертації є такою. У розділі 1 проведено огляд релевантної наукової літератури, що охоплює поточний стан досліджень з тематики та ознайомлення з ключовими модельними припущеннями, що застосовувалися в стохастичних іграх видобутку ресурсів до моменту написання дисертаційної роботи. У розділі 2 представлено основні припущення досліджуваної моделі стосовно функцій корисності гравців та закону переходу між станами, а також обґрунтовано значущість їхнього використання. Результати, отримані для симетричного формату окресленої моделі гри видобутку ресурсів, висвітлено у розділі 3. Концепцію фіксованої коаліційної структури у симетричній моделі гри втілено й досліджено в розділі 4. Насамкінець у розділі 5 охоплено несиметричний випадок запропонованої моделі гри видобутку ресурсів.
The thesis is devoted to researching a class of nonzero-sum stochastic games, which is referred to in the scienti c game theory literature as a game of resource extraction or a game of capital accumulation. From a theoretical standpoint a noteworthy characteristic of the game lies in uncountability of both its state space and the players' action spaces. Being motivated by practical applications, the game concept models an economic problem of strategic interaction with the following interpretation. Several agents commonly possess a certain renewable asset (a capital or a resource), which generates advantage from its utilization. Throughout a sequence of discrete time moments all players simultaneously decide on the resource quantity for the current personal consumption, according to which an instantaneous payo is received by means of evaluating a constant individual utility function. The quantity of the resource available for consumption in each moment of time is determined accordingly to a known stochastic law of motion, which depends on the previous resource amount and the extraction values of the players. The total reward of every participant equals to a discounted sum of all received instantaneous payo s, the expected value of which each of them aims to maximize when choosing a personal strategy at the beginning of the game. The main purpose behind the research is to enrich the available results of the (Stationary) Markov Perfect Equilibrium existence in the game, which is considered a solution concept in this type of noncooperative games. The equilibrium existence in a general framework of resource extraction games is an open problem, yet due to having a scienti c and practical interest it is being investigated extensively. The resource extraction game model considered in the thesis belongs to a previously unexamined class, which is characterized by an arbitrary number of participants, an unbounded state space, unbounded utility functions and a transition probability in form of a stochastic kernel dependent on a joint investment of the players. The model is constructed with a pair of special assumptions concerning the players' utility functions and the stochastic law of motion between states, both of which are commonly applied in economic modelling. First, it is assumed that the players' preferences are isoelastic (or CRRA according to the economic terminology) in the shape of strictly concave power functions. Second, every subsequent quantity of the available resource (i. e. a state of the game) is a linear transformation of the amount left after the players' consumption (i. e. their joint investment) in uenced by a multiplicative random shock, which is identically distributed at each stage of the game. Such stochastic process is exploited in economic modelling and nancial literature under the term geometric random walk. The proposed model is studied in both symmetric and nonsymmetric game settings. For the symmetric game model a unique Markov Perfect Equilibrium is constructed using the method of backward induction in the case when the horizon of the game is nite. By showing that the equilibrium policy functions and the corresponding value functions of the players are monotonically convergent as the time horizon goes to in nity, a symmetric Stationary Markov Perfect Equilibrium existence in non-randomized strategies is established for the in nite horizon game model. It is then proven that the obtained equilibrium is not Pareto optimal, and a formula for calculating the socially optimal strategy pro le is revealed. It is also con rmed that the players tend to overconsume when being in the equilibrium comparing to their socially optimal behaviour. According to this result, the symmetric game model admits the presence of \the tragedy of the commons". In the non-symmetric in - nite horizon game model a Stationary Markov Perfect Equilibrium existence in pure strategies is concluded via a different approach, and is additionally deduced to be unique among the strategy pro les, consisting of linear policy functions. The employed proving method, while being distinct from the one used in the case of a symmetric game model, similarly provides an algorithm for constructing the equilibrium strategy pro le, which is especially useful for applying the results in practice. The symmetric game model with an in nite time horizon is additionally studied in the context where precise social connections are established between the agents. In particular, it is considered that the players cooperate within distinct coalitions, that do not intersect and remain permanent for the whole duration of the game. It is then proven that for any partition on the set of players into coalitions, there exists an quilibrium between these coalitions, de ned as a strategy pro le, from which none of the coalitions is able to unilaterally deviate by the coordinated effort of it's members in a way to increase the total expected discounted reward of the whole coalition. Proceeding to explore the matter regarding the tragedy of the commons in the symmetric game model, it is revealed that for a constant number of the players, the extent of their joint resource consumption rises with the increase of the amount of competitive coalitions that they are partitioned into, assuming that the equilibrium between the coalitions is attained. In addition, while considering the game of resource extraction with the incorporated coalitional component, an analysis is carried out on the subject of an economic advantage for the participants from forming certain coalitions comparing to the other ones. The structure of the thesis is as follows. In Section 1 an overview of the relevant scienti c literature is conducted, which encompasses the current state of research on the topic and a familiarization with the key assumptions utilized in stochastic resource extraction game models prior to the thesis production. Section 2 introduces the main assumptions of the studied model regarding the utility functions of the players and the law of motion between states, as well as provides argumentation on the relevance of their employment. The results obtained for a symmetric framework of the resource extraction game model under consideration are presented in Section 3. The concept of a stable coalitional structure is incorporated and investigated for the symmetric game model in Section 4. Finally, Section 5 contains the results for the non-symmetric case of the appropriate resource extraction game model.
The thesis is devoted to researching a class of nonzero-sum stochastic games, which is referred to in the scienti c game theory literature as a game of resource extraction or a game of capital accumulation. From a theoretical standpoint a noteworthy characteristic of the game lies in uncountability of both its state space and the players' action spaces. Being motivated by practical applications, the game concept models an economic problem of strategic interaction with the following interpretation. Several agents commonly possess a certain renewable asset (a capital or a resource), which generates advantage from its utilization. Throughout a sequence of discrete time moments all players simultaneously decide on the resource quantity for the current personal consumption, according to which an instantaneous payo is received by means of evaluating a constant individual utility function. The quantity of the resource available for consumption in each moment of time is determined accordingly to a known stochastic law of motion, which depends on the previous resource amount and the extraction values of the players. The total reward of every participant equals to a discounted sum of all received instantaneous payo s, the expected value of which each of them aims to maximize when choosing a personal strategy at the beginning of the game. The main purpose behind the research is to enrich the available results of the (Stationary) Markov Perfect Equilibrium existence in the game, which is considered a solution concept in this type of noncooperative games. The equilibrium existence in a general framework of resource extraction games is an open problem, yet due to having a scienti c and practical interest it is being investigated extensively. The resource extraction game model considered in the thesis belongs to a previously unexamined class, which is characterized by an arbitrary number of participants, an unbounded state space, unbounded utility functions and a transition probability in form of a stochastic kernel dependent on a joint investment of the players. The model is constructed with a pair of special assumptions concerning the players' utility functions and the stochastic law of motion between states, both of which are commonly applied in economic modelling. First, it is assumed that the players' preferences are isoelastic (or CRRA according to the economic terminology) in the shape of strictly concave power functions. Second, every subsequent quantity of the available resource (i. e. a state of the game) is a linear transformation of the amount left after the players' consumption (i. e. their joint investment) in uenced by a multiplicative random shock, which is identically distributed at each stage of the game. Such stochastic process is exploited in economic modelling and nancial literature under the term geometric random walk. The proposed model is studied in both symmetric and nonsymmetric game settings. For the symmetric game model a unique Markov Perfect Equilibrium is constructed using the method of backward induction in the case when the horizon of the game is nite. By showing that the equilibrium policy functions and the corresponding value functions of the players are monotonically convergent as the time horizon goes to in nity, a symmetric Stationary Markov Perfect Equilibrium existence in non-randomized strategies is established for the in nite horizon game model. It is then proven that the obtained equilibrium is not Pareto optimal, and a formula for calculating the socially optimal strategy pro le is revealed. It is also con rmed that the players tend to overconsume when being in the equilibrium comparing to their socially optimal behaviour. According to this result, the symmetric game model admits the presence of \the tragedy of the commons". In the non-symmetric in - nite horizon game model a Stationary Markov Perfect Equilibrium existence in pure strategies is concluded via a different approach, and is additionally deduced to be unique among the strategy pro les, consisting of linear policy functions. The employed proving method, while being distinct from the one used in the case of a symmetric game model, similarly provides an algorithm for constructing the equilibrium strategy pro le, which is especially useful for applying the results in practice. The symmetric game model with an in nite time horizon is additionally studied in the context where precise social connections are established between the agents. In particular, it is considered that the players cooperate within distinct coalitions, that do not intersect and remain permanent for the whole duration of the game. It is then proven that for any partition on the set of players into coalitions, there exists an quilibrium between these coalitions, de ned as a strategy pro le, from which none of the coalitions is able to unilaterally deviate by the coordinated effort of it's members in a way to increase the total expected discounted reward of the whole coalition. Proceeding to explore the matter regarding the tragedy of the commons in the symmetric game model, it is revealed that for a constant number of the players, the extent of their joint resource consumption rises with the increase of the amount of competitive coalitions that they are partitioned into, assuming that the equilibrium between the coalitions is attained. In addition, while considering the game of resource extraction with the incorporated coalitional component, an analysis is carried out on the subject of an economic advantage for the participants from forming certain coalitions comparing to the other ones. The structure of the thesis is as follows. In Section 1 an overview of the relevant scienti c literature is conducted, which encompasses the current state of research on the topic and a familiarization with the key assumptions utilized in stochastic resource extraction game models prior to the thesis production. Section 2 introduces the main assumptions of the studied model regarding the utility functions of the players and the law of motion between states, as well as provides argumentation on the relevance of their employment. The results obtained for a symmetric framework of the resource extraction game model under consideration are presented in Section 3. The concept of a stable coalitional structure is incorporated and investigated for the symmetric game model in Section 4. Finally, Section 5 contains the results for the non-symmetric case of the appropriate resource extraction game model.
Description
Keywords
стохастичні ігри з ненульовою сумою, видобуток ресурсів, накопичення капіталу, стаціонарна рівновага за Нешем, Марковська ідеальна рівновага, степенева функція корисності, геометричне випадкове блукання, дискретний час, дисконтований виграш, кооперативна теорія ігор, дисертація, nonzero-sum stochastic games, resource extraction, capital accumulation, stationary Nash equilibrium, Markov perfect equilibrium, power utility, geometric random walk, discrete time, discounted payoff, cooperative game theory
Citation
Силенко І. В. Марковська Ідеальна Рівновага у грі видобутку ресурсів зі степеневими перевагами агентів : дисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії за спеціальністю "Прикладна математика" / Силенко Ілля Володимирович ; науковий керівник: Чорней Р. К. ; Національний університет "Києво-Могилянська академія". - Київ : НаУКМА, 2023. - 186 c.