Avramenko, OlgaNaradovy, Volodymyr2024-05-132024-05-132023Avramenko O. V. Weakly nonlinear models of stochastic wave propagation in two-layer hydrodynamic systems / O. Avramenko, V. Naradovy // Могилянський математичний журнал. - 2023. - T. 6. - C. 39-44. - https://doi.org/10.18523/2617-70806202339-442617-70802663-0648https://doi.org/10.18523/2617-70806202339-44https://ekmair.ukma.edu.ua/handle/123456789/29508У роботi розглянуто тривимiрнi моделi поширення стохастичних внутрiшнiх хвиль у гiдродинамiчних системах "пiвпростiр – пiвпростiр", "пiвпростiр – шар з кришкою", "шар з твердим дном – шар з кришкою". При побудовi моделей шари вважаються iдеальними рiдинами, роздiленими поверхнею контакту. Основна мета моделювання – отримати динамiчне рiвняння вiдносно стохастичної амплiтуди поверхневих хвиль. Постановки задач для вказаних моделей наведено в безрозмiрному виглядi. Для контролю внеску нелiнiйних доданкiв введено безрозмiрний нечисловий параметр 𝛼. Математична постановка задачi для вказаних моделей мiстить рiвняння руху, кiнематичну та динамiчну умови на поверхнi контакту, умови затухання на нескiнченностi та умову непротiкання на днi та кришцi. Для рiзних моделей вiдрiзняються граничнi умови, якi визначають загальний вид розв’язкiв. Розв’язання проводиться в термiнах iнтегралiв Фурьє–Стилтьеса. Отримано динамiчне рiвняння вiдносно стохастичної амплiтуди внутрiшнiх хвиль −𝑊(q)𝐶(q) =𝛼 ∫︁ 𝑓2(q, q1)𝐶(q − q1)𝐶(q1)𝑑q1 + 𝛼2 ∫︁∫︁ 𝑓3(q, q1, q2)𝐶(q − q1 − q2)𝐶(q1)𝐶(q2)𝑑q1𝑑q2, де k = (𝑘𝑥, 𝑘𝑦) – хвильовий вектор, 𝑘 = |k|, 𝜃 = 𝑘𝑥𝑥 + 𝑘𝑦𝑦 − 𝑡𝜔 – фаза , 𝐴(q), 𝐵(q), 𝐶(q) - стохастичнi амплiтуди вiдповiдних полiв, якi залежать вiд q = (k, 𝜔). Функцiї 𝑊(q), 𝑓2(q, q1) та 𝑓3(q, q1, q2) отриманi для кожної з трьох моделей. Пiсля усереднення по ансамблю амплiтуд динамiчне рiвняння набуває вигляду 𝑊(q)𝑆(q) = ∫︁ 𝐺(q, q1) 𝑊(q) 𝑆11(q1)𝑆11(q − q1)𝑑q1 − 𝑆11(q) ∫︁ 𝐹(q, q1)𝑆11(q1)𝑑q1, де 𝐺(q, q1) = 2(𝑓2(q, q1))2, 𝐹(q, q1) = −4(𝑓2(q,q1))2 𝑊(q−q1) − 𝑓3(q, q1,−q1) − 2𝑓3(q, q, q1), Функцiї 𝑓2(q, q1) та 𝑓3(q, q1, q2) описують дво- i трихвильовi взаємодiї у гiдродинамiчному середовищi. Виявлено внесок дисперсiї у хвильовий рух. Розглянуто граничнi випадки для дослiджуваних моделей, в яких вони переходять одна в одну. Зокрема, в моделi "пiвпростiр – пiвпростiр" при прямуваннi щiльностi верхнього шару до нуля (фактично за вiдсутностi верхнього шару) двохвильовi взаємодiї якiсно збiгаються з випадком моделi поверхневих хвиль на поверхнi контакту пiвпростору. При цьому для трихвильових взаємодiй виявлено новий доданок.The paper discusses three-dimensional models of the propagation of stochastic internal waves in hydrodynamic systems: ’half-space - half-space’, ’half-space - layer with rigid lid’, and ’layer with solid bottom - layer with rigid lid’. In constructing the models, the layers are considered to be ideal fluids separated by a contact surface. The main objective of the modeling is to obtain a dynamic equation for the stochastic amplitude of surface waves. A comparative analysis of the obtained results has been conducted. In order to control the contribution of nonlinear terms, a dimensionless non-numerical parameter has been introduced. The models are distinguished by boundary conditions that determine the general form of solutions. As a result, a dynamic equation for the stochastic amplitude of internal waves has been derived. After ensemble averaging of the amplitudes, the dynamic equation is formulated in integral form using Fourier-Stieltjes integrals. The dynamic equation reveals two-wave and three-wave interactions, as well as the contribution of dispersion to wave dynamics. An investigation of the boundary case of the transition of internal waves in the ’half-space - half-space’ system to surface waves in the absence of an upper liquid layer confirms the validity of the results.enstochastic wavesinternal waveswave propagation modelsarticleстохастичнi хвилiвнутрiшнi хвилiмоделi поширення хвильArticle