Колеснiк, Олександр2024-05-132024-05-132023Колеснiк О. В. Центральна гранична теорема для кiлькостi рекордiв у Fα-схемi / Колеснiк О. В. // Могилянський математичний журнал. - 2023. - T. 6. - C. 35-38. - https://doi.org/10.18523/2617-70806202335-382617-70802663-0648https://doi.org/10.18523/2617-70806202335-38https://ekmair.ukma.edu.ua/handle/123456789/29509Consider the sequence {𝑋𝑘, 𝑘 ≥ 1} of independent identically distributed random variables whose distribution function is continuous. Then events of the type {𝑋𝑖 = 𝑋𝑗} have probability 0 if 𝑖 ̸= 𝑗. Let 𝐿(1) = 1. For 𝑛 ≥ 2, we define random variables 𝐿(𝑛) = inf{𝑘 > 𝐿(𝑛 − 1) : 𝑋𝑘 > 𝑋𝐿(𝑛−1)} assuming that inf ∅ := +∞. The members of the sequence 𝐿 = {𝐿(𝑛), 𝑛 ≥ 1} are called moments of records constructed for {𝑋𝑘, 𝑘 ≥ 1}. Consider the sequence of random variables 𝜇 = {𝜇(𝑛), 𝑛 ≥ 1}, defined by the relation 𝜇(𝑛) = #{𝑘 : 𝐿(𝑘) ≤ 𝑛}, 𝑛 ≥ 1. It is clear that 𝜇(𝑛) – is the number of records that happened up to the moment 𝑛 inclusive. In the work [10], the so-called 𝐹𝛼-scheme is considered for the first time, which is built using a given distribution function and a sequence of positive numbers {𝛼𝑘}. It is clear that 𝐹𝛼𝑛(𝑥) is the distribution function for each 𝑛 ≥ 1. The set of independent random variables {𝑋𝑛} is called the 𝐹𝛼 scheme, if the distribution function of the random variable 𝑋𝑛 is 𝐹𝛼𝑛(𝑥). If all 𝛼𝑛 are equal to each other, then the 𝐹𝛼 scheme – is a set independent identically distributed random variables. If not all 𝛼𝑛 are equal to each other, then the 𝐹𝛼 scheme – is a generalization of the classical case. This paper examines the assertions related to the fulfillment of the central limit theorem (CLT) for the number of records in the 𝐹𝛼-scheme of records. The method of finding exact asymptotic expressions for mathematical expectation and variance, which can be used to replace the real characteristics in CLT, is given. A specific example of power-law growth of exponents of the 𝐹𝛼-scheme was considered, and CLT is constructed only in terms of the moment of observation and the power of growth. The article contains 4 theorems with complete proof. Theorem 1 relates the mathematical expectation and variance to the accumulated intensity of the 𝐹𝛼-scheme. Theorem 2 establishes the implementation of CLT in general, and theorem 4 – for a specific case.У цiй роботi розглянуто твердження, якi стосуються виконання центральної граничної теореми (ЦГТ) для кiлькостi рекордiв у послiдовностi незалежних випадкових величин в рамках 𝐹𝛼-схеми рекордiв. Наведено методику знаходження точних асимптотичних виразiв для математичного сподiвання та дисперсiї, якими можна замiнити справжнi характеристики у ЦГТ. Розглянуто конкретний приклад степенового зростання експонент 𝐹𝛼-схеми i побудовано ЦГТ лише у термiнах моменту спостереження та степенi зростання. У статтi є 4 теореми з повним доведенням. Теорема 1 пов’язує математичне сподiвання та дисперсiю з накопиченою iнтенсивнiстю 𝐹𝛼-схеми. Теорема 2 встановлює виконання ЦГТ у загальному виглядi, а теорема 4 – для конкретного випадку.ukнезалежнi однаково розподiленi випадковi величинирекордикiлькiсть рекордiвцентральна гранична теоремастаттяindependent identically distributed randoom variables𝐹𝛼-schemerecordsnumber of recordscentral limit theoremArticle