Solvable Lie algebras of derviations of rank one

Abstract

Let K be a field of characteristic zero, A = K[x1,...,xn] the polynomial ring and R = K(x1,...,xn) the field of rational functions in n variables over K. The Lie algebra Wn(K) of all K-derivations on A is of great interest since its elements may be considered as vector fields on Kn with polynomial coefficients. If L is a subalgebra of Wn(K), then one can define the rank rkAL of L over A as the dimension of the vector space RL over the field R. Finite dimensional (over K) subalgebras of Wn(K) of rank 1 over A were studied by the first author jointly with I. Arzhantsev and E. Makedonskiy. We study solvable subalgebras L of Wn(K) with rkAL = 1, without restrictions on dimension over K. Such Lie algebras are described in terms of Darboux polynomials.

Нехай K – довiльне поле характеристики нуль, A = K[x1,...,xn] – кiльце многочленiв та R = = K(x1,...,xn) – поле рацiональних функцiй вiд n змiнних над K. Алгебра Лi Wn(K) всiх Kдиференцiювань кiльця A становить великий iнтерес, оскiльки її елементи можуть розглядатися як векторнi поля на Kn з полiномiальними коефiцiєнтами. Якщо L пiдалгебра iз Wn(K), то можна визначити ранг rkAL пiдалгебри L над кiльцем A як розмiрнiсть векторного простору RL над полем R. Скiнченновимiрнi (над K) пiдалгебри рангу 1 над A вивчалися першим автором разом з I. Аржанцевим та Є. Македонським. Ми вивчаємо розв’язнi пiдалгебри L алгебри Лi Wn(K) з rkAL = 1, без обмежень на розмiрнiсть над K. Дано опис таких алгебр Лi в термiнах многочленiв Дарбу.