Solvable Lie algebras of derviations of rank one
Loading...
Date
2019
Authors
Petravchuk, Anatolii
Sysak, Kateryna
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Abstract
Let K be a field of characteristic zero, A = K[x1,...,xn] the polynomial ring and R = K(x1,...,xn) the field of rational functions in n variables over K. The Lie algebra Wn(K) of all K-derivations on A is of great interest since its elements may be considered as vector fields on Kn with polynomial coefficients. If L is a subalgebra of Wn(K), then one can define the rank rkAL of L over A as the dimension of the vector space RL over the field R. Finite dimensional (over K) subalgebras of Wn(K) of rank 1 over A were studied by the first author jointly with I. Arzhantsev and E. Makedonskiy. We study solvable subalgebras L of Wn(K) with rkAL = 1, without restrictions on dimension over K. Such Lie algebras are described in terms of Darboux polynomials.
Нехай K – довiльне поле характеристики нуль, A = K[x1,...,xn] – кiльце многочленiв та R = = K(x1,...,xn) – поле рацiональних функцiй вiд n змiнних над K. Алгебра Лi Wn(K) всiх Kдиференцiювань кiльця A становить великий iнтерес, оскiльки її елементи можуть розглядатися як векторнi поля на Kn з полiномiальними коефiцiєнтами. Якщо L пiдалгебра iз Wn(K), то можна визначити ранг rkAL пiдалгебри L над кiльцем A як розмiрнiсть векторного простору RL над полем R. Скiнченновимiрнi (над K) пiдалгебри рангу 1 над A вивчалися першим автором разом з I. Аржанцевим та Є. Македонським. Ми вивчаємо розв’язнi пiдалгебри L алгебри Лi Wn(K) з rkAL = 1, без обмежень на розмiрнiсть над K. Дано опис таких алгебр Лi в термiнах многочленiв Дарбу.
Нехай K – довiльне поле характеристики нуль, A = K[x1,...,xn] – кiльце многочленiв та R = = K(x1,...,xn) – поле рацiональних функцiй вiд n змiнних над K. Алгебра Лi Wn(K) всiх Kдиференцiювань кiльця A становить великий iнтерес, оскiльки її елементи можуть розглядатися як векторнi поля на Kn з полiномiальними коефiцiєнтами. Якщо L пiдалгебра iз Wn(K), то можна визначити ранг rkAL пiдалгебри L над кiльцем A як розмiрнiсть векторного простору RL над полем R. Скiнченновимiрнi (над K) пiдалгебри рангу 1 над A вивчалися першим автором разом з I. Аржанцевим та Є. Македонським. Ми вивчаємо розв’язнi пiдалгебри L алгебри Лi Wn(K) з rkAL = 1, без обмежень на розмiрнiсть над K. Дано опис таких алгебр Лi в термiнах многочленiв Дарбу.
Description
Keywords
Lie algebra, solvable Lie algebra, derivation, Darboux polynomial, polynomial ring, article, алгебра Лi, розв’язна алгебра Лi, диференцiювання, многочлен Дарбу, кiльце многочленiв, стаття
Citation
Petravchuk A. Solvable Lie algebras of derviations of rank one / A. Petravchuk, K. Sysak // Могилянський математичний журнал. - 2019. - Т. 2. - С. 6-10.